ÔN THI HSG TOÁN 9 - ĐỀ 17

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 17

Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng A =
là số nguyên.
b) Cho x là số thực dương thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức A =
và B =

Câu 2. (3 điểm)
Cho biểu thức P =

Rút gọn biểu thức P.
Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 3. (4 điểm)
a)Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
chia hết cho 5 thì
chia hết cho 5.
b) Giải phương trình:

Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. M là điểm nằm trong tam giác. Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, BC, AC.
Chứng minh rằng khi M thay đổi, tổng MN + MP + MQ có giá trị không đổi
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ). Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I.
Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh AC ta luôn có
không đổi.
Câu 6. (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

==== hết ===












1a)
Ta có :



( Vì 5 là số nguyên tố)
- Ta có:
(đpcm)
Câu 2. (3 điểm)
Cho biểu thức P =

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
a)







b)

Do
với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . Vậy min P = - 2 khi x = 0




Câu 5. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ). Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I.
Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh AC ta luôn có
không đổi.

GIẢI: Dựng điểm F đối xứng với I qua A. Nối CF.
Ta có: KI // AH (cung vuông góc BM)
Suy ra:


Mà IK
BM nên BK
CF. Do đó:

(cùng phụ
)
Xét
ABM và
ACF có:

; AB = AC ;

Nên
ABM =
ACF (gcg)
Suy ra AF = AM, do AF = AI nên AM = AI
Vậy
AIM vuông cân tại A
Do đó

Câu 6. (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có bđt

Suy ra

Mà
nên

+

Do đó:




















Câu 1. (4 điểm)
a)Giải phương trình:



Áp dụng bất đẳng thức
, xảy ra dấu đẳng thức
cho vế trái của PT ta có:

= VP
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi





Nghiệm của PT là:
;

b)Tính giá trị biểu thức
tại

Giải: Đặt

Ta có:

Suy ra
. Do đó:

Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:


Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz



(1)
+ y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax


(2)
+ z + x = 2by