ÔN THI HSG TOÁN 9 - ĐỀ 16

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 16

Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình:
(3 điểm)
b) Tính giá trị biểu thức
tại
(2 điểm)
Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:

(2 điểm)
Cho a, b, c > 0 và abc = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
(2 điểm)
Câu 3. (4 điểm)
a) Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
chia hết cho 6. (2 điểm)
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n.
(2 điểm)
Câu 4. (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a , M là điểm nằm giữa A và B. Vẽ hai hình vuông AMCD và
BMEF cùng phía bờ AB. Gọi H là giao điểm của AE và BC.
Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. (3 điểm)
b) Gọi Q là giao điểm của AC và DF. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng AB luôn không đổi. (2 điểm)
Câu 5. (3 điểm)
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì . Giao điểm của AC và đường thẳng PM là Q.
Chứng minh rằng :

==== hết ===






















Câu 1. (4 điểm)
a)Giải phương trình:



Áp dụng bất đẳng thức
, xảy ra dấu đẳng thức
cho vế trái của PT ta có:

= VP
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi





Nghiệm của PT là:
;

b)Tính giá trị biểu thức
tại

Giải: Đặt

Ta có:

Suy ra
. Do đó:

Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:


Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz



(1)
+ y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax


(2)
+ z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by



(3)
+ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được


b) Chứng minh rằng
với a, b, c > 0 và abc = 1.
Ta có:




(bđt đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta có



Vậy

Tương tự

;

Cộng vế theo vế => đpcm
Câu 3. (3 điểm)
a)Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
chia hết cho 6.
Giải: + Vì n không chia hết cho 2 và 3 nên n = 6k + 1 hoặc n = 6k – 1 (Với k thuộc Z)
+ Nếu n = 6k + 1 thì







+ Nếu n = 6k – 1 thì

+ Vậy ………………………..
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n.
Ta có: 60 = 3. 4. 5
+

+ Ta có

+ Nếu n chẳn thì n2 chia hết cho 4

n lẻ thi n – 1 và n + 1 là các số chẵn

+ n2 chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
+ Nếu n2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì

n2 có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì

n2 có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 thì

Suy ra

+ Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên B chia hết cho 60
Câu 6. (2 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn
. Chứng minh