ÔN THI HSG TOÁN 9 - ĐỀ 15

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 15

Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và
. Tính giá trị của biểu thức A =

b) Rút gọn biểu thức

Câu 2. (3 điểm)
Giải phương trình

Câu 3. (3 điểm)
Tìm số tự nhiên y để
chia hết cho 6, biết

Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H.
Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE. Tính độ dài CH; EH.
Gọi I là giao điểm EF và AH. Chứng minh rằng

c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Kẻ AS vuông góc HK tại S. Chứng minh SK là phân giác của
.
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F.
Chứng minh rằng:

Câu 6. (2 điểm)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng


=== hết===











HƯỚNG DẪN
Câu 1. (4 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và
. Tính giá trị của biểu thức A =

Giải:
Thay a + b + c = 2018 vào
ta được

Ta có:














Ta có: A =

Mà
nên A =

b)Rút gọn biểu thức A =

Đặt a =





Vì a > 0 nên a =

Và

Vậy

Câu 2. (3 điểm)
Giải phương trình
(1)

ĐK: x
2


Đặt
ta được PT

+
(TM)
+
(vô nghiệm)
Vậy S = {- 2; 1}
Câu 3. (3 điểm)
Tìm số tự nhiên y dể
chia hết cho 6, biết

Gợi ý
, từ đó ta có hướng viết lại biểu thức
dưới dạng tổng mới , loại trừ các hạng tử chia hết cho 3 từ đó tìm được điều kiện cho y.
Giải: Ta có



+ Chỉ ra x3 – x chia hết chi 6
+ A chia hết cho 6 khi
chia hết cho 6
Dễ thấy
2, do đó A chia hết cho 6 khi y = 3k hay y = 3k -1
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F.
Chứng minh rằng:










 + Kẻ qua A đường thẳng song song với BC cắt BE tại K, cắt CF tại H.
+ AH // BC suy ra
& AK // BC suy ra

Do đó:
(1)
+ AH // CD suy ra
& AK // BD suy ra

Do đó:
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra
(3)
+ Chứng minh tương tự ta được:
(4) &
(6)
+ Cộng (3), (4), (5) vế theo vế ta được




Áp dụng bất đẳng thức với a, b là hai số dương ta có
, dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó

Vậy
. Dấu = xảy ra khi BD = CD, EA = EC; FA = FB ( I là trọng tâm tam giác ABC
Chú ý: Có thể dùng diện tích để c/m
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H.
Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE. Tính độ dài CH; EH.
Gọi I là giao điểm EF và AH. Chứng minh rằng

c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Kẻ AS vuông góc HK tại S. Chứng minh SK là phân giác của
.
a) Chứng minh được
HBE

HCF (g.g)
Suy ra