ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1:
Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với mọi a, b.
Chứng minh
> a, với a > b > 0.
Bài giải:
Ta có 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2

4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2

( b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 – 6a2b2)
0

(b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2
0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Với a > b > 0 thì
> a

(a2 - b2) + (2ab – b2) + 2
> a2


2b(a - b) + 2
> 0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Câu 2:
Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh:
+


Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:


Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:


Điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra

b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:



Suy ra






Câu 3:
Cho x> 0, y > 0 và x + y
1. Chứng minh:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

Bài giải:
Nhận xét rằng nếu a, b là số dương thì

Từ đó ta có:



Vì x, y > 0 và x + y
1 nên

Từ (*) suy ra:

Điều kiện:

Ta có:

Do đó: A=

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là
, đạt được khi x = 1.
Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
với mọi a, b, c.
b)
(a > 0, b > 0, c > 0)
c)
với mọi a, b, c, d, e.
Bài giải:

a)




Do đó
là bất đẳng thức đúng.
b) Áp dụng câu a) ta có:
a8 + b8 + c8
a4b4 + b4c 4 + c4a4 = (a2b2)2 + (b2c 2)2 + (c2a2)2


(a2b2) (b2c 2) + (b2c 2)(c2a2) + (c2a2)(a2b2) = a2b2c 2(a2 + b2 + c2)

a2b2c 2(ab +bc + ca)
Do đó





a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d +e)

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d +e)
0

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae
0


(Bất đẳng thức đúng)
Do đó a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng.
Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:


.
Bài giải:
Với m nguyên dương, ta có:

Thay m lần lượt bởi 1; 2; ...; m. Ta có:


Do đó:

Câu 6: Tìm tất cả các số thực x thỏa:


Bài giải:
Điều kiện:

Áp dung bất đẳng thức Cối cho 2 số không âm, ta có:


Do đó:

Vậy
là giá trị cần tìm.
Câu 7: Với a > 0, b> 0, c > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)

c)

Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:


b)
(theo câu a)
Chứng minh tương tự câu a) ta có:
;

Do đó:



.
c)Với a, b > 0. Ta có:


Tương tự ta có:

Do đó:


Câu 8: Chứng minh


Trong đó A, a, B, b, C, c, d là các số dương.
Bài giải:
Bài toán phụ: Cho 0 < x < y, z > 0. Chứng minh rằng:

Vì 0 < x < y, z