On tap toan

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

đặt vấn đề
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình toán phổ thông, rất thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học- Cao đẳng và còn là một chuyên đề lớn trong các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán, do đó học sinh phổ thông thường gặp rất nhiều khó khăn khi gặp dạng bài này.
Các tài liệu, sách tham khảo đã trình bày khá đầy đủ về vấn đề này, trong báo cáo này chúng tôi tập trung vào phương pháp hàm số.
Nếu bất đẳng thức chỉ liên quan tới hàm 1 biến thì vấn đề đã rõ, ví dụ:
Chứng minh rằng x sinx
x 0
song đối với bất đẳng thức nhiều biến số, ví dụ:
BT0 (Đề 150II2): Cho a,b,c ( [0,1]. Chứng minh rằng:

thì sử dụng phương pháp hàm số như thế nào?
Theo chúng tôi, đây là vấn đề khá mới mẻ.
Nội dung báo cáo gồm 3 phần:
Phần 1: Khái quát về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Phần 2: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số.
Phần 3: Những kết luận sư phạm.

Phần 1: khái quát về các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức
I. Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số
Khái niệm: Cho hai biểu thức đại số f, g có tập xác định lần lượt là D1, D2. Quan hệ f g cho ta một bất đẳng thức đại số. Nếu với mọi giá trị của biến trong tập D = D1 ∩ D2 làm cho f g ta có một bất đẳng thức đúng.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số yêu cầu ta chỉ ra tính đúng (hoặc sai) của một bất đẳng thức nào đó. Để tiện về ngôn ngữ, nói chung từ nay ta chỉ cần xem xét những bất đẳng thức dạng f g f – g 0.
Theo phân loại của Polya thì bài toán bất đẳng thức thuộc dạng bài toán chứng minh toán học (trong hệ thống này, ngoài ra là các bài toán tìm tòi).
II. Các phương pháp giải
Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phương pháp phổ biến là:
PP1: Dùng biến đổi tương đương
PP2: Phương pháp phản chứng
PP3: Dùng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
PP4: Dùng bất đẳng thức tam giác
PP5: Làm trội
PP6: Quy nạp
PP7: Dùng bất đẳng thức Cauchy
PP8: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
PP9: Biến dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski
PP10: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
PP11: Dùng bất đẳng thức Bernoulli
PP12: Dùng tam thức bậc hai
PP13: Phương pháp lượng giác
PP14: Dùng bất đẳng thức Jensen
PP15: Dùng bất đẳng thức Tsebyshev
PP16: Dùng đạo hàm
PP17: Phương pháp hình học.


Phần 2: chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số.

Trước tiên ta xét ví dụ đã nêu trong phần đặt vấn đề, đây