Ôn luyện Toán Lớp 9

ÔN LUYỆN TOÁN LỚP 9
Bài 1:
Cho x, y là hai số thực thoả mãn : (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y + 1
Giải: Từ giả thiết (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0
Suy ra: (x + y)2 + 2. (x + y)2.
+
–
+ 10 = –y2
0
(x + y +
)2 –

0
(x + y +
)2





hay –

x + y +




– 4
P = x + y + 1
–1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là – 4 và giá trị lớn nhất của P là –1
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P =

Giải: P =

Ta có: x2 – x + 1 =
với mọi x

P =
=
=


Giá trị nhỏ nhất của P là
khi x + 1 = 0
x = -1
P =
=
=

2
Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0
x = 1
Bài 3:
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

Giải: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
’ là số chính phương

’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2
0
–27x2 + 196 = k2
0
27x2
196
x2 
7
x


Nếu x = 0 thì y = 0
x = 1 thì y = 8
x = -1 thì y = 10
x =
2 thì y
Z
Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10)
Bài 4:
a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương

Giải:
a) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương
Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2
(x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2
(x2 + 3x + 1)2 – 1 = k2
(x2 + 3x + 1)2 và k2 là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vị nên
(x2 + 3x + 1)2 = 1 và k2 = 0
x = 0; x = -3 trái với giả thiết

Bài 5:
Tìm số nguyên m để
là số hữu tỉ
Giải:
Để là số hữu tỉ thì m2 + m + 23 phải là số chính phương
Đặt m2 + m + 23 = k2 (kZ)
4m2 + 4m + 92 = 4k2
4m2 + 4m + 1 + 91 = 4k2
(2k)2 – (2m + 1)2 = 91
(2k + 2m + 1).(2k – 2m – 1) = 91

Với m; k là số nguyên thì 2k + 2m + 1 và 2k – 2m – 1 phải là ước của 91
Hoặc Hoặc
Hoặc Hoặc
Hoặc Hoặc
Hoặc
Vậy để là số hữu tỉ thì m