ÔN LUYỆN THI HSG TOÁN 9

Bài 1:
Cho biểu thức:
,

Thu gọn biểu thức P
Tìm các giá trị của x để P = 1

a.




b.Điều kiện:



Vậy P = 1 thì x = 25.


Bài 2:
Cho
. Chứng minh

Cho a , b, c là ba số thực dương. Chứng minh

a. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, ta có:

( 1)
Tương tự:
( 2 )
Từ (1) và ( 2) suy ra:


b. Vì a, b, c > 0 nên

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, ta có:


Tương tự:


Từ (1), (2) và ( 3) , ta có :


Bài 3 : Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì
không chia hết cho 9.
Giả sử tồn tại một số tự nhiên n để
chia hết cho 9
Đặt A =
. A
9 nên 4A
9 (1)
Ta có:


(2)
Từ (1) và ( 2) mâu thuẫn
Vậy với mọi số tự nhiên n thì
không chia hết cho 9.

Bài 1. (4,0 điểm):
Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
a) (2,0đ)
ĐKXĐ:












b) (2,0đ)
Ta có:

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số
và
ta có:


Dấu “=” xẩy ra khi
(TMĐK)
Vậy: Min M = 4 khi


Bài 2. (5,0 điểm):
a) Cho x, y là hai số dương và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,


a) (2,5đ)
Trước hết chứng minh: Với hai số dương x và y ta có :
(*)
Áp dụng (*) ta có
.
Ta có
=


.
Dấu “=” xẩy ra khi
Vậy Min A = 14 tại x = y =
.

b) (2,5đ)
Ta có






A=
=


Câu 1. (4,5 điểm):
a) Cho hàm số

Tính
tại

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:




























(1)







Đặt
(2)


(1) trở thành
(3)
Từ (2)

thay vào (3) ta được


(*)



Để (*) có nghiệm




Vì
hoặc


Thay vào (*)
Với




 Với



Câu 3. (3,0 điểm):
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ta có





Mà x; y > 0 =>x+y>0

Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)

( x3 + y3 ≥ (x + y)xy

( x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz

( x3 + y3 + 1 ≥ xy(x + y + z) > 0

Tương tự: y3 + z3 + 1 ≥ yz(x + y + z) > 0

 z3 + x3 + 1 ≥ zx(x + y + z) > 0

(


(


(


Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 ( x = y = z = 1


Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức:


a.Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A.
b.Tính giá trị của A khi x =

c. Tìm x
Z để A
Z.
a, kiện: x


( 0,5điểm)

( 1,5điểm)

b, Ta có x =
=

A =


 c, A=

A nguyên
là ước của 4

nhận các giá trị: -4;-2; -1; 1; 2;4

do




Bài 6.( 1,