Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức

Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
  1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT.
Ví du 1: Giải PT:
(1)
Giải: ĐK: 
(2)
PT(1)
;
ĐK:
(3)

Giải x1=1 không thõa mãn (4);x2= 5thoã mãn cả (2)và (4).
Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2: Giải PT:

Giải:ĐK:x
(2) . PT(1)
.
Hai vế của (3) không âm bình phương hai vế :

,thỏa mãn ĐK (2) .
Vậy PT có nghiệm x = 3.
2-Phương pháp: Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT:
(1) .
Giải (1)

Nếu
 thuộc khoảng đang xét
Nếu
phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm x=5
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: Giải pt:


Giải: ĐK:
 ;PT đã cho có dạng:

Đặt : 

Với t = 2 thì

Kết luận:

4, Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ
Giải PT:

Giải:ĐK:

Đặt
;
Khi đó x-2= y3 ;x+1 = z2
Ta có HPT sau:
;
Giải HPT (y = 1;z =2)thỏa mãn ;Giải tìm x = 3 (thỏa mãn)
Kết luận: x = 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Ví dụ:Giải PT:

ĐK: 
;Ta có với ĐK này thì x < 5x
 Do đó


Vế trái là số âm còn về phải không âm suy ra phương trình vô nghiệm.
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
Ví dụ: Giải PT:

Giải:Vế trái của PT:

            Vế phải của PT:
 
            Vậy hai vế của PT bằng 5

KL: x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ :Giải PT:

Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 thì
 . Nên vế trái của (1) >3
Với
.
Nên vế trái của (1) <3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xảy ra dấu bằng :
Ví dụ: Giải PT:

Giải : ĐK
   Áp dụng BĐT
Với a>0,b>0 . Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b
Do đó (1) 
thõa mãn (2)
 
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
Ví dụ: Giải PT:

ĐK: 
. Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
 

(2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải PT:


Bài 2:Giải PT:


Bài 3: GiảiPT


Bài 4:Giải PT:

Bài 5:Giải PT:
 

Bài 6:Giải PT:




Bài 7:Giải PT:
 a)

b)
 
Bài 8:Giải PT:


Bài 9:Giải PT:



Bài 10: Giải PT:


Bài 11: Giải PT:






Bài 12: Giải PT:
  *******************************************


Giải
Bài 1: Đặt điều kiện





Bài 2: Đặt



Giải

Bài 3: Điều kiện 

...

Bài 4: 





Bài5:
 
Bài 6:
a)PT Vô nghiệm
b)PT có vô số nghiệm

 

Bài 7:
a)
 
b) tương tự.
Bài 8:

 

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:

Giải PT ẩn t có hai nghiệm

Thay giải tìm x.
 
Bài 9:
a) 


...
b) 



 
...
Chú ý có thể sử dụng tính chất: 

Dấu của đẳng thức xảy ra khi A và B cùng dấu.
Bài 10:
Điều kiện: