Một số phương pháp CM bất đẳng thức THCS

MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS
 
     1)  Định nghĩa bất đẳng thức
            + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
            + a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
            + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a
 b,
            + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a 
 b ,
     2)  Một số tính chất của bất đẳng thức:
       a) Nếu 
và 
thì 
  (tính chất bắc cầu)
          b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c
           Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất  kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
         c) Nếu a>b+c thì a-c>b
          Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
        d)  Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d
         Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
        Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
         e)  Nếu a>b và c thì a-c>b-d
            Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
           Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
          f)  Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
              Nếu a>b và c<0 thì ac
            Tức là:
            Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng thức không đổi chiều
            Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
          g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd
           Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.
          Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.
         h)  Nếu
thì

           Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
           k)  Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì

                Nếu a>b và n nguyên dưong thì 

1. Phương pháp sử dụng định nghĩa
        Để chứng minh
(hoặc
) ta chứng minh   (hoặc
)
        - Lưu ý : A2
 0 với mọi A ;  dấu `` = `` xảy ra khi A = 0 .
        - Ví dụ :
        Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit )
          
     

             Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
        Giải:
         
              Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
2. Phương pháp biến đổi tương đương
        -  Để chứng minh
ta biến đổi tương đương 

   trong đó bất đẳng thức cuối cùng
là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức
         - Một số hằng  đẳng thức thường dùng :
                       (A+B)2=A2+2AB+B2
                       (A-B)2=A2-2AB+B2
                       (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
                       (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
                       (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Ví dụ:
          Chứng minh rằng
thì


          Giải.
       Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
                         (nhân hai  vế với 4, chuyển vế)
              

3. Phương pháp quy nạp toán học
            - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
                                  bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
                                + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
                                + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
                                + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
                                + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)
              Chú ý:  Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n
N) Thì ta nên chú ý sử