MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA BIỂU THỨC

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN>NN CỦA BIỂU THỨC
---------------------------------

I. Phần I: KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. GTLN của biểu thức A:
- Chứng minh A
M ( M là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M
2. GTNN của biểu thức A:
- Chứng minh A
m ( m là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m
3. Bất đẳng thức Côsi :
a) Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm:
- Với hai số a, b không âm, ta luôn có: a + b
2

- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b) Bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:
- Với 3 số a, b, c không âm, ta luôn có: a + b + c
3

- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
- Với 4 số a, b, c, d bất kì, ta luôn có: (ab + cd) 2
(a2 + c2). (b2 + d2)
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc
Chú ý: Nếu b, d
0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

5.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
-
, với mọi a,b. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab
0.
-
, với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
0
-
, với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
6. Một số kết quả:
- Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a

+ Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng không có GTLN.
+ Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng không có GTNN.
- Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m +
thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m –
thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m +
thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m –
thì max y = m khi A = 0
II. Phần II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC
1.Dạng 1: GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
A = x2 – 4x – 2013
B = 3x2 + 5x + 4
C = x4 – 4x2 – 12
D = 4x6 – x3 + 5
Giải:

A = (x – 2)2 – 2017
– 2017, với mọi x
Vậy GTNN của A bằng –2017 khi x = 2.
B = 3
, với mọi x
Vậy GTNN của B bằng
khi x =
.
C = (x2 – 2) 2 – 16
– 16, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2
x =

Vậy GTNN của C bằng – 16 khi x =

D = 4
, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3 =
x =

Vậy GTNN của D bằng
khi x =
.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức:
A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + 5
B = 2(x – 2)4 – 3x2 + 12x – 1
Giải:
A =
, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 1) 2 – 1 = 0

Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2
B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11
= 2
, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x –2) 2 –
= 0

Vậy GTNN của B bằng
khi x = 2

Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = – x2 + 2x + 4
B = 5 – 3x – 8x2
C = 4x2 –