Một số dạng Toán Nâng cao (Ôn vao10)

Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, CA. Tia MN cắt (O) tại I. 5
Chứng minh rằng : BC/IA = CA/IB + AB/IC . 5
DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 6
Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z (1). 10
Bài 4(9) : Cho các số không âm x1, x2, x, …, xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn. 10
Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, …, nk. S = n13 + n23 + … + nk3. Tìm số dư của phép chia S cho 6. 11
Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình : (x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy. 11
Bài 2(19) : Cho các số x1, x,sub>2, x3, ..., x11 thỏa mãn : 1 ≤ x1 < x2 < x3 < ... < x11 ≤ 1000. Chứng minh rằng, tồn tại i Є {1, 2, 3, ..., 10} sao cho
11
Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 12
S = (2 - x)(2 - y). 12
Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ -c, b ≠ -c. Chứng minh rằng : 13

13
TỪ MỘT BÀI THI HỌC SINH GIỎI 15
Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004 có bài toán thú vị sau : 15
Bài toán 1 : Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn (a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4). Chứng minh rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 15
Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng phương trình 16
x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm nguyên dương (x0 ; y0 ; z0). 16
Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : 17

17
Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A1B1C1 bằng nhau và chồng lên nhau sao cho phần giao của chúng là một lục giác mà ta kí hiệu là MNPQRS. Chứng minh rằng : 17
MN + PQ + RS = NP + QR + SM. 17
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng : trung điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng. 18
Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc với AD, AD = 4 cm, AB = BC = 2 cm. Hãy tìm một con đường ngắn nhất đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới điểm N trên cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A. 20
Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD. I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng : AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA. 22
Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD. H là trung điểm của CD. Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD. 23
Bên ngoài hình thang, ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F. Chứng minh rằng tam giác MEF vuông cân tại M. 23
Bài toán : Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của BC. Lời giải : Tìm được nhiều hướng giải quyết sáng tạo chính là sự hấp dẫn của bài toán này. 25
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN 26
Bài 4(19) : Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của AD. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD tại