Một số công thức tổng quát bồi dưỡng HSG

MỘT SỐ CÔNG THỨC TỔNG QUÁT BỒI DƯỠNG HSG

1/ Số chỉnh hợp chập k của n:
= n(n-1)(n-2).....(n-k+1) là số các bộ phận gồm k trong số n phần tử được sắp xếp theo thứ tự nhất định.
2/ Số tổ hợp chập k của n:
là số các bộ phận gồm k trong số n phần tử được sắp xếp theo thứ tự tùy ý.

3/ Một số hằng đẳng thức tổng quát:
* (a+b+c)2 = a2+ b2+ c2 + 2ab + 2bc + 2ca
* an- bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)
*a2k+1+b2k+1=(a+b)(a2k-a2k-1b+a2k-2b2-….+b2k)
* Nhị thức Newton:
(a+b)n=
+
+
+....+
+
+
( Với
)
(a-b)n=
-
+
-....+(-1)n
( Với
)
Tam giác Pascan (các hệ số trong khai triển nhị thức Newton):

Đỉnh: 1
Dòng 1 (n=1): 1 1
Dòng 2 (n=2): 1 2 1
Dòng 3 (n=3): 1 3 3 1
Dòng 4 (n=4): 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n=5): 1 5 10 10 5 1

4/ Định lí Bezout: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng f(a)

5/ Lược đồ Horner: ( Để tính các hệ số của đa thức thương và dư trong phép chia đa thức
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+ a1x+a0 cho x - a )

an
an-1
an-2
……
a1
a0

a
bn=an
bn-1=abn+an-1
bn-2=abn-1+an-2

b1=ab2+a1
r= ab1+a0


6/ Các bất đẳng thức thông dụng:
 *Bất đẳng thức Cauchy:Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
- Với 2 số:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Với n số:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 


*Bất đẳng thức Buniakovski dạng thông thường
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
Dấu " = " xảy ra khi  


* Bất đẳng thức Buniakovski cho 2 bộ số
Với hai bộ số (a1;a2;...;an) và (b1;b2;...;bn) ta có :


Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
 với quy ước nếu một số bi nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0.
*Bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.
- Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1.
- Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
*Bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:


- Bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.
- Ước lượng chặn dưới tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, với bất kỳ hai số thực x và y:




( ( (