Một số chuyên đề bßi dững HSG 9

ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG



1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M
( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC
HƯỚNG DẪN
B


O


A D
DM là dây chung của hai đường tròn ( AO ( DI
( OAD = CDI ; AD = CD ( ( ADO = ( DCI ( IC = OD = ½ BC

2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn .
a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b/ Chứng minh MA . MB . MC . MD ( 6R2
HƯỚNG DẪN

B C




A D

a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 .MC2 = AC4 – 2MH2 .AC2 = 16R4 – 8R2.MH2
Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 – 8R2.R2
= 24R4
b/ Aùp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có :
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) (
Vì MA4 + MB4 (
MC4 + MD4 (
( (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) (
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ( 4MA.MB.MC.MD
4MA.MB.MC.MD ( 24R4
MA.MB.MC.MD ( 6R4 Dấu “=” xảy ra ( MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R4

3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông góc với AB .
Chứng minh EK = EF.
HƯỚNG DẪN

Nhận xét : EF ( AB , EK ( AK
( cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD





Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A ( ADE = 2FAE (1)
ADE = KAF = FAE + EAK (2)
Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK


3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a .
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích ( CEF lớn nhất .
A E B K HƯỚNG DẪN



H

F

D C
a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ( EF , H ( EF .
( DFC = ( DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
CF = CK .
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK .
Do đó ( CEF = ( CEK ( c.c.c)
Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau .
CH không đổi , C cố định , CH ( EF ( EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C , a ) .
b/ ( HCF = ( DCF ( H = D = 900  ; CF chung ; CH = CD = a ) ( SHCF = SDCF .
Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
( SCEF = ½ SCDFEB ( SCEF = ½ ( a2 – SAEF )
SAEF ( 0 ( SCEF ( ½ a2 . Dấu “ = “ xảy ra ( SAEF = 0 (
E ( B , F ( A hoặc E ( A , F ( D .
Vậy E ( B , F ( A hoặc E ( A , F ( D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất .
5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý . Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N .
a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai