Mot so cach giai BDT rat hay

Chuyên đề 3:
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A - CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp đổi tương đương
Để chứng minh:

Ta biến đổi
(đây là bất đẳng thức đúng)
Hoặc từ bất đẳng thức đứng
, ta biến đổi

Ví dụ 1.1


Giải


Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.
b)

Bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2
CMR
(1)
Giải


Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.


Ví dụ 1.3


Giải




Nếu ac + bd < 0 thì (2) đúng
Nếu
thì


Suy ra đpcm.
Ví dụ 1.4
Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:

Giải



đpcm.
Phương pháp biến đổi đồng nhất
Để chứng minh BĐT: A
B. Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:


Giải




Ví dụ 2.2
Chứng minh rằng:
a)
với a, b > 0
b)
với a, b, c > 0
c)
với a, b, c
0
Giải






Ví dụ 2.3
Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


Giải





Ví dụ 2.4

(Bất đẳng thức Cô – si)

(Bất đẳng thức Cô – si)



(Bất đẳng thức Trê bư sếp)
Giải
Ta có:





Ví dụ 2.5
Cho a, b, c > 0. Chứng minh:


Giải


Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức
Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như:


Ví dụ 3.2
Với a, b, c > 0. CMR

Giải


Ví dụ 3.3
Cho a, b, c > 0. CMR:



Giải
dễ dàng chứng minh

đpcm
dễ dàng chứng minh
đpcm
Ví dụ 3.4


b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh


c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = ab + bc + ca. Chứng minh:


Giải


Tương tự:







Ví dụ 3.5
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


Giải
áp dụng BĐT:



b)

suy ra điều phải chứng minh.
4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si


Dấu “=” xảy ra khi

Ví dụ 4.1
Cho a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. CMR:

Giải
Áp dụng BĐT Cosi ta có


Ví dụ 4.2
Chứng minh rằng:

với a, b


với a,b,c > 0
Giải




Cộng vế với vế ta được:

Dấu “=” xảy ra khi
vô lí.
Vậy dấu “=” không xảy ra.
Ví dụ 4.4
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng


Giải




Cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 4.5
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng


Gải


Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.7
Cho x, y, z > 0. Chứng minh


Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:


5)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski
*)
dấu “=” xảy ra khi

*)
dấu “=” xảy ra khi

Tổng quát:

dấu “=” xảy ra khi ai = kxi
Ví dụ 5.1
Cho a, b > 0. Chứng minh


Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:




Tổng quát:

Cho
thì
(1)

Với
với
thì
(2)
Thật vậy:

đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2)
tập