Mot so bdt quan trong hay va kho

Một số BĐT quan trọng hay và khó

VD1:cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.CM:
abcb+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

áp dụng BĐT Cô-si ta có:
(b+c-a)(a+c-bb+c-a+a+c-b4=c²
(a+c-b)(a+b-ca+c-b+a+b-c4=a²
(b+c-a)(a+b-cb+c-a+a+b-c4=b²
Nhân 3 bđt trên suy ra đpcm

VD2:cho a+b+c=3.CM:a^4+b^4+c^4≥abc³

Ta có:(a-10» a2a-1.tương tự:b2b-1,c2c-1
Và:(a10» a^4≥ 2a1.Tương tự: b^4≥2b1,c^4≥2c1
Suy ra:a^4+b^4+c^4≥2(abc3=(abcabc3abc²
Do đó:2(a^4+b^4+c^4a^4+b^4+c^4+abca^4+ab^4+bc^4+c
2(abcđpcm.

Cách 2: nhân cả 2 BĐT với 3
VP:nhân với 3
VT:nhân với a+b+c rồi dùng BĐT bu-nhi-a-cóp-ki(hoặc trư-bư-sép).

VD3:cho x,y,z dương và:x(x+y+z)=3yz..CM:
(x+yy+zx+z+3(x+y)(y+z)(x+z)≥5(y+z
(Trích đề thi đại học khối A môn toán năm 2009-2010)

Đặt A=x+y,B=y+z,C=x+z
Gtcho tương đương:
CABAB» CAB =(A-B0» CAB(1)
C3AB=(A+B(A+B4C² hayA+B≤2C
BĐT» AB3ABC≤5C³» (A+B)C² + 3ABC ≤ 5C³ » (A+B)C+3AB≤ 5C²
Hay C(A+B-2C)+3(AB-C≤ 0 » đpcm

VD4:cho a+b≥ 0.CM:
(a+b)(abab≤ 4(a^6+b^6)
=
Ta có: ab2ab » aab+bab» abab(a+b2(ababab(a+b)
» 2(aba+b)(ab2(aba+b)(abab

Và 2(ab2(11a^6+b^6)=4(a^6+b^6) (BĐT bu-nhi-a-cóp-ki)

VD5:cho x,y[0,2],CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+xz4

Ta có: x,y thuộc[0,2] nên 2-x,2-y,2-z, ≥0» (2-x)(2-y)(2-z0
Hay :8-4(x+y+z)+2(xy+yz+xz) -xyz≥0 » 4(x+y+z)-2(xy+zy+xz) ≤8
Hay 2(x+y+z)-(xy+xz+yz4

VD6: cho u≤v. CMR:u3u≤v3v+4

u3u-2≤v3v+