MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ (Cực hay)

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1
Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =

Giải
1) Do (A – B)2 ≥ 0 nên
với A >0; B >0
Bất đẳng thức xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi A = B
2) Từ bất đẳng thức luôn đúng
suy ra :

vì x+y+z =1 nên suy ra
. Bất đẳng thức xẩy ra “=” khi và chỉ khi x = y = z = 1/3
- Ta có
với A >0; B >0.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có :



Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1/3

Bài 2: 1. Chứng minh
2. Chứng minh

Giải


2) Áp dụng kết quả phần 1:


( do a + b + c
1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c =

Bài 3
1.Cho x>1. Chứng minh

2. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E =

Giải
1.
<=>
(luôn đúng với x>1)=>

Dấu bằng xảy ra khi x = 2.
2. Theo bất đẳng thức Côsi ta có : E =

Áp dụng câu a ta có
=> E
. Vậy GTNN của E là 8 khi a = b = 2
Bài 4:  Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a)
b)

Giải
a) Vì a,b,c >0 nên áp dụng phép biến đổi tương đương và rút gọn, được


Áp dụng bất đẳng thức Côssi
ta chứng minh được BĐT trên
Dấu = xảy ra khi a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a)

Tương tự có:




Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế:








Bài 5: a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) ( (b + 2a)2
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

.
Giải
a/ 3(b2 + 2a2) ( (b + 2a)2



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
b/Theo câu a):


Chứng minh tươngtự:


Cộng (1), (2) và (3) vếvớivế ta được



Bài 6. Cho
thỏa mãn
.
a) Chứng minh
. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Giải
a)

b) Có
.

(Do
)
Vậy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi
.
Bài 7:
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn
. Chứng minh rằng
.
Giải
a) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có


(1)
b) Áp dụng BĐT (1) ta có:
(1’)
Tương tự
(2’);
(3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Bài 8
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:

Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:

Giải
a.Ta có:

(



( 2+a2 +b2 +2ab +a3b+ab3
2+2a2 + 2b2 +2a2b2 ( Do 2 mẫu có giá trị dương)
( ( ab-1)(a-b)2
0 ( Luôn đúng do a, b >0 và ab>1)
Dấu = xảy ra ( a = b
b.Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có


Tương tự:



Cộng vế với vế của ba BĐT trên và chia cả hai vế của BĐT cho 4 > 0 ta được :


Dấu = xảy ra ( a = b = c
Bài 9.
a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

Chứng minh bất đẳng thức:
.
Giải
a) a, b, c là các số thực dương áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: