Mot so bai toan hay

một số bài toán đại số và số học

Bài1: Cho các số x, y thỏa mãn:
(x y = 2009 (1)
Tính giá trị của biểu thức A =
Lời giải:
+ Ta có: (1) 2009(y = 2009- x)
y = - x) (2)
+ Tương tự ta cũng có:
(x = - y) (3)
Từ (2) và (3) ta có: x + y = 0 x = - y .
Vậy: A = = 0
Bài2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
+ 2xy - 5x- 5y = - 6 (1) để x + y là số nguyên?
Lời giải: (cách1)
(1) x + y - + - = 0. Do 0 nên: (x + y - - 0
- (x + y - 2 x + y3.
Vậy ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
Cách2: Đặt x + y = T y = T – x thế vào (1) ta được phương trình bậc hai đối với ẩn x: - 2Tx +2T5T + 6 = 0 (2). Giá trị của T nếu có là điều kiện có nghiệm của phương trình (2) = - T5T - 6 0 2 T 3
2x + y 3
Vậy ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
Bài3: Cho các số nguyên dương khác nhau: aaaChứng minh rằng phương trình : vô nghiệm
Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức: với n 1. Thật vậy:
Ta có: = < = =
Vậy: (*)
Do aaalà các số nguyên dương khác nhau nên tacó:
< 2(- = 60. Suy ra:
< 60. Vậy phương trình vô nghiệm

Bài4: Tìm GTNN của biểu thức
C = (x 0)
Ta có thể giải câu này bằng nhiều cách như sau:
Cách1:
Do x 0 nên ta có:
C = 1 - + Đặt = t, khi đó: Ta đưa về đa thức bậc hai như sau:
C = 2008t2 – 2t + 1 = 2008(t2 – 2t+
C= 2008(t2 – 2t+ -
C = 2008(t - 2 +
Suy ra: GTNN (C) = t = x = 2008
Cách2: Ta có thể giải cách khác như sau:
Do x 0 nên C = (C - 1) x2 + 2x – 2008 = 0 (2)
+ Nếu C = 1 suy ra x = 1004 (*)
+ Nếu C 1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của phương trình (2)
1 + 2008(C - 1) 0 C suy ra GTNN(C) = 0 x = 2008.(**)
Từ (*) và (**) ta tìm được GTNN(C) =
Cách3:Với mọi a R .Ta có: C – a = - a = (3)
Xét f(x) = (1- a)x2 -2x + 2008. Gọi = 2008a – 2007
Do (3) đúng với mọi giá trị của R nên (3) đúng với giá trị của a làm cho
= 0 a = Với a = thì: C - = 0. Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 2008 C = Vậy GTNN(C) =
Cách4:
Ta có: C =