MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ÔN THI VÀO 10 THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Bài 1: Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4
Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*) Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có : 1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ] Lại áp dụng bđt (*) ta có : . 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y) . 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z) --> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z) Tương tự ta có : . 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z) . 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z) --> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z) --> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4) --> đ.p..c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)² <=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b² <=> 0 ≤ (a - b)² --> luôn đúng --> (*) được CM Dấu " = " xảy ra <=> a = b
Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4 <=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z)) <=(1/16)*(2/x+1/y+1/z) làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB là M, giao điểm của DF với AC là N....Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất? @ 3 câu hỏi trước cho biết khi d quay quanh A tỉ số (BE+EA)/(AF+FC) luôn không đổi và MN//EF
BC cố định nên chỉ cần xác định vị trí EF sao cho : BE+EA+AF+FC lớn nhất. Gọi góc EAB = α, AB=c, AC=b khi đó BE+EA = c(sinα+cosα), (1) ∡ BAC vuông nên ∡ ACF = α => AF+FC = b(sinα+cosα). (2) BE+EA+AF+FC = (sinα+cosα)(b+c) = (b+c) √2.cos(45-α) => α =45 độ BE+EA+AF+FC lớn nhất.