Ly_thuyet_so_hoc.doc

A. Chứng minh chia hết bằng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố


1. Giới thiệu

Một trong những định lý quan trọng nhất của số học là định lý về phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố. Định lý này được coi là nền tảng để nghiên cứu Lý thuyết số.

Định lý cơ bản của số học. Mỗi số tự nhiên
đều có thể biểu diễn duy nhất (nếu không tính đến thứ tự các thừa số) dưới dạng


trong đó
là các số nguyên tố


Tiếp theo, ta đưa ra các mệnh đề có ý nghĩa và ứng dụng trong việc giải bài toán chia hết. Việc chứng minh các mệnh đề này có thể tìm thấy trong [1], [2].

Mệnh đề 1. Nếu hai số nguyên a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a - b chia hết cho m.
Hệ quả 2. Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
Mệnh đề 3. Nếu một thừa số của một tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
Mệnh đề 4. Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn.
Mệnh đề 5. Nếu
số nguyên tố p thì
.
Mệnh đề 6. Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho tích mn.
Mệnh đề 7. Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.

2. Sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố để giải bài toán chia hết

Dạng 1. Phân tích A thành tổng các số hạng
Sử dụng tính chất chia hết của tổng (hoặc hiệu) và hệ quả:
Nếu A = A1 + A2 + A3 + ... +An và thoả mãn điều kiện Ai
((i =
) thì A
.

Bài toán 1.Chứng minh rằng
i)
chia hết cho 11;
ii)
chia hết cho 9 với
.
Lời giải.i)
, chia hết cho 11.
ii)
chia hết cho 9.


Bài toán 2. Cho số
chia hết cho 27.Chứng minh rằng số
chia hết cho 27.
Lời giải. Ta có





Do
nên


Dạng 2. Phân tích A thành tích
Sử dụng tính chất chia hết của tích: Nếu một thừa số của tích chia hết cho B thì tích chia hết cho B. Tức là: Nếu A = A1.A2.A3....An và
(
) thì
. Nếu A = A1.A2.A3....An và B = B1.B2.B3....Bn mà

thì
.

Bài toán 3.Cho số tự nhiên
.Chứng minh:
chia hết cho tổng của n số tự nhiên đầu tiên

Lời giải. Ta có:

Mặt khác, sử dụng tính chất
và n lẻ,
Ta có


Thêm vào đó, do
ta suy ra:

Tổng quát,ta có thể chứng minh được:
chia hết cho 1+ 2 +…+ n,
với mọi
và k lẻ.

Bài toán 4. Chứng minh rằng tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48.
Lời giải. Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2a, 2a+2, 2a+4
.
Xét tích: 2a(2a+2)(2a+4)=8a(a+1)(a+2).
Chứng minh rằng a(a+1)(a+2) chia hết cho 3 và chia hết cho 2.

Bài toán 5. Chứng minh rằng số gồm 27 chữ có chữ số 1 thì chia hết cho 27.
Lời giải .Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.Lấy A chia cho B ta được thương là
Như vậy A= B.C trong đó B chia hết cho 9, còn C chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho 27.


Dạng 3. Phân tích B thành nhân tử: Nếu B = B1.B2.B3....Bn với (
) = 1,
và thoả mãn điều kiện
thì
.

Bài toán 6. Cho n
.Chứng minh
chia hết cho 24 với



Lời giải .Ta có: 24=
Do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau, nên để chứng minh A
,ta chứng minh A
và A
. Ta có :

=

=
=

Vì
là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên

, ngoài ra, trong 4 số nguyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp, một số chia hết