Luyện thi Học sinh giỏi lớp 9 ( có thể dùng cho cả lớp 10)

đại số 9
dãy số có quy luật
*******************
Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
Cách 1 : Truy toán
Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học

Ví dụ 1 : Cho có 100 dấu căn
Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
Giải :
Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy
<
.....

Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A( N ( dpcm )
Cách giải này thường được gọi là truy toán

Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau

Với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Giải :
Xét số hạng tổng quát

Vậy :

Trang 2
=
=
Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
< 2
Giải :
Xét số hạng tổng quát ta có :

( =
= . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng

Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Giải :
Nhận xét B > 2
Ta thấy :
( B2 – 5 )2 = 13 + B
B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B
B4 – 10 B2 – B + 12 = 0
B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0
B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0
( B – 3B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0
( B – 3( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0
Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11
do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3
Trang 3
Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình

Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

Giải :
Xét số hạng tổng quát : với k là số nguyên dương , ta có :

Vì :
Vậy :
Nên :
áp dung vào bài



Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
< 3
Giải :
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
Với n = 1 ta có D1 = < 3 Đúng
Trang 4
Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :
< 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1

=
Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = < 3
Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n

Ví dụ 7 : Cho biểu thức
ở đó trên