Làm quen bài toán cấp số nhân

Làm quen với Bài toán cấp số nhân

I Giới thiêu:
HS tiểu học và THCS chưa học đến Cấp số nhân nhưng đôi khi cũng gặp một số bài toán liên quan. Hoăc bài toán thử sức/ Toán đố..Tài liệu nà giới thiệu một vài bài để HS dù học THCS hay THPT cũng làm quen ứng dụng.
II.- Khái niệm & công thước cơ bản


III.- Một số bài toán mẫu
Bài 1 : Việt Nam có 1 bài toán cổ quen thuộc gọi là "Bài toán hạt gạo", Bài toán này (tương tự bài toán bàn cờ Ấn độ) như sau :
Sau khi 1 Nhà thông thái lập được công lớn. Nhà vua hứa ban thưởng cho nhà thông thái bất cứ thứ gì Ông muốn. Nhà thông thái thưa với vua : " Thần chỉ muốn xin cái quý nhất để sống đó chính là gạo" Nhà vua cười và bảo :
"Ngươi chỉ xin có thể thôi à, Vậy ngươi muốn bao nhiêu hạt gạo ta cũng chiều". Nhưng Nhà thông thái bèn thưa rằng : "Trong 1 bàn cờ gồm có 64 ô. Bắt đầu từ ô thứ nhất, Vua đặt vào 1 hạt gạo. Tiếp tục ở ô thứ hai, Vua đặt vào 2 hạt gạo. Cứ thế với những ô tiếp theo với số gạo gấp đôi số gạo ở ô liền trước nó. Cuối cùng cho đến hết 64 ô của bàn cờ.
Tổng số hạt gạo thu được trong 64 ô đó là số gạo mà thần xin bệ hạ ban tặng". Nhà vua nghĩ "Như thế thì chắc chỉ có 1 bao gạo là cùng". Nhưng sau tính ra với một con số khủng lồ.
Vậy số gạo mà Nhà thông thái cần là bao nhiêu ?

Bài Giải : Ký hiệu số thứ tự các ô lần lượt là từ 1 đến 64, Tổng số hạt gạo trên đó là
. S =

Khi đó, S là một cấp số nhân với công bội là 2,
= 1.
. S =
Đáp số của bài toán là một con số gồm 20 chữ số . Số gạo này có thể trải lên toàn bộ bề mặt trái đất với độ dày lên đến 2 mm.
Bài 2 - tính Khổ giấy in:
Hiện đang có các khổ giấy in:
A0, A1, A2, A3. A4....Như hình bên. Biêt diện tich A0 = 2 A1;
A1 = 2 A2; A2 = 2 A3..... theo qui luật Cấp số nhân với công bội
q = ½. Với kích thước ghi tại hình bên , tính xem Nếu kích thước chiều rông mỗi khổ giấy cũng theo cấp số nhân thì công bội là bao nhiêu ?
* Hướng Giải 1:
Lấy chiều rộng của 2 khổ giấy liền kề chia cho nhau có kết quả:


Vì tỷ số chiều rộng 2 khổ giấy liền kề luôn sấp xỉ 1, 413...~
nên các số đo này xếp thứ tự theo Cấp số nhân “lùi”,
công bội là

*Hướng Giải 2
Vi diện tich các khổ giấy A0, A1, A2, A3. A4. theo cấp số nhân với công bội q = ½ , mà Diện tich S = chiều dài x Chiều rộng. Do đó chiều rộng (chiều dài) cũng theo cấp số nhân,
nhưng công bội q’ =

IV Bài thực hành : ( ap dụng cho cả HS trình độ THCS và THPT)

Bài 1:
a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. b) Độ dài các cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 60 độ Bài 2: Số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó. Bài 3: Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148/9, đồng thời, theo thứ tự, chúng là sô hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng Bài 4: Chứng minh rằng nếu 3 số
lập thành một cấp số cộng thì 3 số x,y,z lập thành một cấp số nhân

**ĐA & Hướng giải

Bài 1:
a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.

Hướng dẫn
Goi 4 góc đó có số do lần lượt là
, q là công bội (q>0)

Ta có

Vây 4 góc đó là



b) Độ dài các cạnh của tam giác ABC lập