Kiểm tra Toán 9

ĐÁP ÁN Đề 15
Bài 1: a) Tìm số có ba chữ số
sao cho
= (a + b)3
b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

Lời giải:
a) Vì
là số có ba chữ số và là lập phương của một số nên chỉ có thể là:
125 = 53, 216 = 63, 343 = 73, 512 = 83, 729 = 93. Thử từng trường hợp thì có 343 là số thỏa mãn bài toán
b) Đặt x = a + b, y = a – b. Khi đó x, y là các số nguyên và
,

Ta có: a2 – ab + b2 =



Ta có:
( Vì x là số nguyên) (1)
Mặt khác:
(2)
Vì (28 – 3x, 3) = 1 nên từ (2) suy ra
(3)
Từ (1) và (3) suy ra x = 9 và từ đó cũng suy ra

Như vậy :
hoặc

Vậy (a; b) = (4; 5), (5; 4).
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương:


Lời giải:
Đặt
,

Ta có: 2P + Q = 3. Do đó, để chứng minh
ta chỉ cần chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:









Hay là

Từ đó ta có
ĐPCM.
Bài 3: Chứng minh
chia hết cho 1004.2009, ở đây [x] là phần nguyên của số thực x
Lời giải:
Bổ đề: Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

,

Chứng minh bổ đề:
Ta có:


(1)
Lại có:






(2)
Từ (1) và (2) suy ra bổ đề được chứng minh.
Trở lại với bài toán ban đầu:
Với mỗi số tự nhiên k ≥ 1,ta đặt:
Sk =

Dễ dàng nhận thấy S = S1 + S2 + S3+..+ S2008
Mặt khác: với k2 ≤ N ≤ (k + 1)2 – 1 thì
, và do đó:





Áp dụng bổ đề với n = 2008
Ta có


.ĐPCM.
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có
BAC = 600 và nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng: OH =|AB – AC|
b) Đường thẳng OH cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: BM + CN = MN
Lời giải:
a) Kéo dài BO cắt (O) tại L. Vì BL là đường kính của (O) nên LA vuông góc với AB và LC vuông góc với BC. Từ đó suy ra LA song song với HC(cùng vuông góc với AB) và LC song song với AH(cùng vuông góc với BC)
Tứ giác ALCH la hình binh hành

AH = LC = BOcos
BLC= 2R.
= R (R là bán kính đường tròn (O)) (1)
Bây giờ,không mất tính tổng quát, giả sử AC
AB. Gọi K là điểm nằm trên AC sao cho AK = AB và J là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn (O). Ta có:
JK = JB(Hai điểm B, K đối xứng với nhau qua AJ) (2)
JB = JC(Hai điểm B, C đối xứng qua OJ) (3)
JB = R(Tam giác BOJ là tam giác đều) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
AH = AO = JK = JC =R. (5)
Lại có:

KJC =
AJC –
AJK =
AJC –
AJB =
ABC –
ACB = B –C
Và :
OAH =
OAB –
HAB = (900 – C) – (900 – B) = B – C
Như vậy
KJC =
OAH (6)
Từ (5) và (6) suy ra
OAH =
KJC
OH = KC = AC – AB. ĐPCM.
b) Kẻ JX vuông góc với AC, JY vuông góc với AB. Dễ dàng chứng minh được:

BYJ =
CXJ (cạnh huyền, góc vuông)

BY = CX

AB + AC = AB + AX + CX
= AB + AX + BY
= AY + AX = 2AX
= 2
JX (7)
Gọi P là giao điểm của AJ và OH.
Vì
OAC =
HAB = 900 – B và AP là phân giác góc BAC nên cũng là phân giác góc OAH
AP vuông góc với OH(Do tam giác OAH cân nên đường phân giác cũng là đường cao)
AP = JX (
AOH =
JKC) (8)
Mặt khác, tam giác AMN có AP vừa là phân giác,vừa là đường cao nên
AMN là tam giác cân tại A. Ngoài ra, theo giả thiết ban đầu
MAN = 600 nên
AMN là tam giác đều.
AP =
MN (9)
Từ (7), (8), (9) ta có: AB + AC = 2
JX = 2
AP = 3MN (10)
Lại có: AB + AC = AM + BM + AN + CB = 2MN + BM + CN (11)
Từ (10) và (11) suy ra BM + CN = MN. ĐPCM.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A. Cho biết AB = c, AC = b và AD = d. Chứng minh:  

Lời giải:
Kẻ DK vuông góc với AC. Dễ dàng nhận thấy tam giác AKD là tam giác vuông cân tại K.
AD =
DK
(1)
Mặt khác, vì AD là đuờng phân giác của tam giác ABC nên

hay là

Lại có DK || AB nên:





(2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.