Kiểm tra Toán 9

ĐỀ KIỂM TRA 16
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > 0 thỏa mãn
là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1
Bài 3: Cho a, b, c là 3 số dương, chứng minh rằng:

Bài 4: Giải phương trình

Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D thỏa mãn BC = BD + DA.
a) Tính các góc của tam giác ABC
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a)





ĐÁP ÁN ĐỀ 16

Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > 0 thỏa mãn
là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn

Lời giải:
Gọi d = (m, n)
với x, y là các số tự nhiên x > 0, y > 0 nào đó và (x, y) = 1.
Ta có:


d(x + y) ≥ d2 .

m + n ≥ d2
. ĐPCM.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1
Lời giải:
Đặt a = x – 1, b = y – 1. Khi đó a > 0, b > 0 và
x3 – x2 = x2(x –1) = (a + 1)2a = (a –1)2a + 4a2
y3 – y2 = y2(y –1) = (b +1)2b = (b –1)2b + 4b2

x3 – x2 + y3 – y2 = (a –1)2a + 4a2 + (b –1)2b + 4b2
≥ 4(a2 + b2) ≥ 8ab = 8(x –1)(y –1)


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
x = y = 2
Vậy Pmin = 8. Giá trị này đạt được tại x = y = 2

Bài 3: Cho a, b, c là 3 số dương, chứng minh rằng:

Lời giải:
Ta có:




a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c)
(1)
Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta được:
a2c + c2b + c2b ≥
(2)
b2a + a2c + a2c ≥
(3)
c2b + b2a + b2a ≥
(4)
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (2), (3), (4) , ta được:
3(a2c + b2a + c2b) ≥


a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c)
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b= c.ĐPCM.
Bài 4: Giải phương trình

Lời giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:


Ta có:



(1)
Lại có:
(2)

(3)
Từ (1) và (3) suy ra, điều kiện cần để
là:


Thử lại, rõ ràng x =1 là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D thỏa mãn BC = BD + DA.
a) Tính các góc của tam giác ABC
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a)
Lời giải:
a) Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
với BC.Vì tứ giác ADEB là tứ giác nội tiếp nên:
CE.CB = CD.CA

(1)
Mặt khác, vì BD là đường phân giác góc B nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra DA = EC
Ta có: BC = BE + EC = BE + DA (3)
Mặt khác, theo giả thiết ban đầu BC = BD + DA (4)
Từ (3) và (4) suy ra BD = BE
BDE là tam giác cân

BDE = 900 –
= 900 –
(5)
Mặt khác, tứ giác ADEB là tứ giác nội tiếp nên
CDE =
ABC = B (6)
Lại vì
BDA là góc ngoài của tam giác BCD nên:

BDA =
DBC +
BCD =
(7)
Ta có:
ADB +
BDE +
EDC = 1800

+ 900 –
+ B = 1800

B = 400
Vậy A = 1000, B = C = 400
b) Ở câu a) ta chứng minh được
CDE = B = C
CED là tam giác cân

DE = EC = DA.
Kẻ DF song song với AB, dễ dàng chứng minh được tam giác BDF và tam giác CDF là các tam giác cân
BF = DF = CD
Mặt khác, BD là đường phân giác góc B nên





EF = BC – BF – CE = BC – CD – DA = BC – AC =

Dễ dàng chứng minh được
ABE