Kiểm tra 1 tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 24/3/2016
(Đề thi gồm có 01 trang)


Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của biểu thức
.
b) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
.
b) Giải hệ phương trình:
.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên
thoả mãn:
.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương
sao cho
là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có
,
,
. Chứng minh rằng:
.
2) Cho tam giác ABC có
,
,
(
,
). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh rằng:
.
b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi qua trung điểm của NF.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.....................................
Chữ kí của giám thị 1: ........................................Chữ kí của giám thị 2: ..................................



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015 - 2016
(Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)

Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1
a
Cho
. Tính giá trị của biểu thức

.
1,00



Ta có:

0,25







0,25





0,25



 A = 24
0,25

1
b
Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:


1,00



Ta có:

0,25






=
(*)
0,25



Do x > 0, y > 0 nên (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy > x2 + y2
Suy ra :

0,25



Khai căn hai vế đẳng thức (*) ta được điều phải chứng minh.
0,25

2
a
Giải phương trình:
(1)
1,00



Điều kiện:

Ta có: (1)



0,25





0,25



Giải (2):

0,25



Giải (3):

KL: Phương trình (1) có nghiệm:
và

0,25

2
b
Giải hệ phương trình:
.
1,00



 Ta có: (1)

, thế vào phương trình (2) và thu gọn ta được:

.
0,25



*) TH1:
, thế vào phương trình (1) ta được
, phương trình vô nghiệm.
0,25



*) TH2:
, trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được:


0,25



 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta được: 4y2 = 0
y = 0, cặp (x;y) = (3;0) thoả mãn phương trình (2).
+ Nếu
, thay vào phương trình (1) ta được: (x - 2)2 = 0
x = 2, cặp (x;y) =
thoả mãn phương trình (2).
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0) và (x;y) = (2; 1/2).
0,25

3
a
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:
(*)
1,00



Ta có: (*)

.
Đặt x + y = a, xy = b thu được:

0,