Khai thac bai toan hinh hoc 9

KHAI THÁC SÂU TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 9
Người gửi : Hà văn Nhân
Giáo viên trường : THCS Hoằng Xuân , Hoằng Hoá Thanh Hoá

Điện thoại DĐ: 01689517667
Gmail:[email protected]


Ta bắt đầu từ bài toán: ( Bài tập 20 – Sách bài tập Toán 9-Tập II ).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.
a) Tam giác MBD là tam giác gì ?
b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.
c) Chứng minh MA = MB + MC.
( Bài tập 20 – Sách bài tập Toán 9-Tập I ).
Trong bài toán , nếu lấy kết quả “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán mới thì ta có các kết quả sau:
Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của điểm M để:
Chu vi của tam giác MBC đạt giá trị lớn nhất.
Tổng ( MA + MB + MC ) đạt giá trị lớn nhất.
Gợi ý: a) Chu vi của
MBC đạt giá trị lớn nhất
MB + MC lớn nhất
MA lớn nhất
MA là đường kính
M là trung điểm của cung nhỏ BC.
b) Làm tương tự.
Nếu kết hợp với BĐT – Cô si thì ta có ngay kết quả: MA = MB + MB
. Dấu bằng xảy ra khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC và khi đó MA cũng đạt giá trị lớn nhất. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của (MA.MB.MC).
Nếu gọi E là giao điểm của MA và BC thì ta nhận thấy:
. Suy ra

. Từ đó ta có bài toán:
Bài 3: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

.
Gọi F là điểm chính giữa của cung BC thì ta có
.
Suy ra:
.
Do vậy ME = AM – AE
AF – AH = FH
( không đổi ). Dấu bằng xảy ra
.
Từ đó ta có được bài toán như sau:
Bài 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta lại thấy rầng khi M trùng với F thì
cũng đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ đó ta lại có thêm bài toán hay và khó như sau:
Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để
+
đạt giá trị nhỏ nhất.

* Đặc biệt: Nếu ta chứng minh được tính chất:
Trong tam giác ABC:

(**)
Và từ các kết quả trên ta có bài toán hay và hấp dẫn sau:
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định sao cho khoảng cách từ O tới AB bằng
. Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) tại C. Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B). Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I. Dậy CM cắt dây Ab tại K.
a) So sánh góc AIM với góc ACB.
b) Chứng minh:

c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
a) OH=
=> Nhận xét quan hệ giữa dây và và sđ cung căng dây ( Sđ cung AB = 1200)
Từ đó tìm được quan hệ giữa hai góc AIM và ACB.
b) Thường chuyển về tỉ số các đoạn thẳng
( Cần chứng minh
)
Tìm cách quy đồng mẫu vế trái bằng cách chỉ ra các tam giác đồng dạng?
Tam giác chứa hai cạnh MK, MA đồng dạng với tam giác nào? tam giác chứa hai cạnh MK, MB đồng dạng với tam giác nào?
(Tam giác MKA và tam giác MBC đồng dạng