HSG TRIEU SON-13

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

Đề chính thức

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11/01/2013


Câu 1: (4,0 điểm) 1. Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức
. b) Tìm
để


Cho
, thoả mãn điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức:

Câu 2: (4,0 điểm)1. Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: (k - 2)x + (k - 1)y = 1 (k là tham số). Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 2. Giải hệ phương trình:

Câu 3: (4,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn điều kiện:

Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1, chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá
.

Câu 4: (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AC = 3AB = 3a và BAC = 600. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ADB = 300. Đường thẳng vuông góc với AD tai D cắt tia AB ở E và cắt cạnh AC ở F. Hạ EK vuông góc với AC (K
AC).
a) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a.
b) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF và EK đồng quy.

2. Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn có giá trị bé nhất là bao nhiêu?
Câu 5: (2,0 điểm) Cho
và
Chứng minh rằng:














Câu
Nội dung đáp án
Điểm

1
(4,0đ)
1. a) ĐKXĐ:
.
Ta có:

b) Với
và
thì

Suy ra
=>
(

Vậy với
thì

0,5

0,75

0,75


0,5
0,25

0,25


Từ giả thiết, suy ra:
=>
(vì
)
Ta có:

Vậy


0,25

0,25

0,5






2
(4,0đ)
1. Với k = 1. Phương trình đường thẳng (d) có dạng x = -1, khoảng cách từ gốc toạ độ đến (d) là 1.
Với k = 2. Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 1, khoảng cách từ gốc toạ độ đến (d) là 1.
Với k
1 và k
2. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, Oy.
Thay y = 0 vào phương trình ta được xA
=> OA

Thay x = 0 vào phương trình ta được yB
=> OB
















0,25

0,25


0,25


0,25


2. ĐKXĐ:

Hệ phương trình đã cho tương đương với:
Giải phương trình (2) theo
, ta được:
hoặc

* Với
, thay vào (1) ta được
. Từ đó tìm được

* Với
, thay vào (1) ta được
. Từ đó tìm được
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

3
(4,0đ)
1. Đặt
thì

Nếu
thì

Do đó
không là số chính phương.
Vậy
, khi đó

Vì
nguyên nên

Vậy
.
0,5

0,5

0,5

0,5


2. Nối các điểm sao cho chúng tạo thành các tam giác đôi một chỉ chung nhau nhiều nhất một cạnh và phủ vừa kín tứ giác.
Do tổng các góc trong tam giác bằng: 3600 + 4.3600 = 10.1800 nên chỉ có 10 tam giác. Như vậy, theo nguyên lý Diriclet thì phải có ít nhất một tam giác có diện tích