HSG Trà Vinh 2018 có lời giải

SỞ GD & ĐT TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
* LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
Đề thi chính thức MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây:

Bài 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình


GIẢI
ĐKXĐ: x>1
Từ (1)

*Thế
vào (2), ta được:
(loại)
*Thế
vào (2), ta được:
x=1 (loại) hoặc x=2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)

Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới. Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A là 10404 người. Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?
GIẢI
Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)
Số dân sau một năm: 10000(x+1)
Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)
Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1)
=10404
Hay x
+2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)
Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%

Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1. Tính giá trị của biểu thức A=

GIẢI
Ta có:

Tương tự :



Do đó: A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)=2.1=2

Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của
P=

GIẢI
Theo điều đề bài ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0. Nên theo BĐT Cô-si, ta có:




Vậy maxP =
tại a = b = c =

Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(*)
GIẢI


Để phương trình có nghiệm nguyên thì

Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17
*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30
*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)

Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh:


GIẢI
Do x, y>0 và x+y=2 nên


Theo BĐT Cô-si ta có:


Hay

Vậy
Dấu = xảy ra khi x=y=1

Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và có AB

GIẢI



Ta có:

Mà:

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra:


…………………………..Hết…………………………



…………………………..Hết…………………………