HSG Toan 9 nam hoc 14.15

Phòng GD & ĐT sơn động
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012

Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài I ( 5,5 điểm ):
1) Cho biểu thức:

a. Rút gọn P.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P
2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x =
3) Giải phương trình:
Bài II( 2,5 điểm ):
1) Chứng minh rằng với
thì
không chia hết cho 9.
2) Cho x, y, z thỏa mãn Tính Q = x2 + y2.
Bài III ( 3 điểm ):
1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17
2) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn:
và
.
Chứng minh rằng:

Bài IV ( 4 điểm ):
Cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình khi m =
Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.
Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2
CMR:
Bài V ( 5 điểm ):
1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn nhất của (O) đi qua K.
2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.
c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH, EF đồng quy.








Đáp án
Môn Toán 9
Câu
Nội dung
Điểm

I/1
1) Cho biểu thức:

a. Rút gọn P.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P

2,5



* ĐKXĐ:


0,75



a
HS rút gọn ra kq



0,75



KL:





I/2
2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại
x =

1,5


x =


27x3 + 27x2+9x+13(3x+1)
27x3 + 27x2
2x3+2x2+1=2






0,75



0,75



I/3
3) Giải phương trình:

1,5


ĐK:
+ dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP
Do đó: PT
KL.


0,75


0,75

II/1
1) Chứng minh rằng với
thì
không chia hết cho 9.
1,5


Giả sử tồn tại số tự nhiên
để

Đặt
. Vì
(1)
Ta có:

Vì


không chia