HSG toán 9 huyện Hoằng Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 21/10/2014
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

 (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:

Rút gọn P.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Xét biểu thức:
chứng tỏ 0 < Q < 2.
Bài 2: (4,5 điểm)
Không dùng máy tính hãy so sánh :
và

.
Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10
.
Giải phương trình:

Bài 3: (4,0 điểm)
Với
Tính giá trị của biểu thức: B =
.
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho
(3x+1)
y đồng thời (3y + 1)
x.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng:
Tam giác
đồng dạng với tam giác
;

Chứng minh rằng :

Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1.
Chứng minh rằng:
.
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................
Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................


Giám thị không giải thích gì thêm

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN : TOÁN



Hướng dẫn chấm này có 03 trang
Yêu cầu chung:
Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
Yêu cầu cụ thể:
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm

1
a.(2,0đ) Đk :



Vậy
, với

0,25

0,5

0,5

0,5
0,25


b. (1,0đ)

dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.
Vậy GTNN của P là
khi
.
0,25

0,5
0,25



(1,0đ).Với
thì Q =
> 0. (1)
Xét

Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện
.
suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.

0,25

0,25

0,25

0,25

2


Vậy
>

.
0,5


0,75

0,25


Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2
(1)
Vì (2x - y)2
; (y – z + 1)2
; ( z - 3)2
với mọi x, y, z nên từ
(1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
0,75
0,75



Đk: x > - 3.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với





Vì x > - 3 nên

Do đó 4x + 11 = 0
x =
thỏa mãn điều kiện.
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
.
0,25








0,5


0,25


0,25

0,25

3
Ta có

Do đó B = - 1.

1,25

0,75



b. Dễ thấy
. Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
Từ (3y + 1)
x

Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x.
p < 3. Vậy p

Với p = 1:
x = 3y + 1
3x + 1 = 9y + 4
y
4
y
Mà y > 1 nên y

+ Với y = 2 thì x = 7.