HSG Toan 9

Đề 8
Câu 1:
a> Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Với a,b ≥ 0
thõa mãn điều kiện |f(x)| ≤ 1
| x | ≤ 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a2 + b2
b> Giả sử a, b là số nguyên dương sao cho

là một số nguyên. Gọi d là ước số của a và b . CMR:

Câu 2:
a> Hãy tính

b> Cho xyz = 1. Hãy tính tổng sau:

Câu 3: Tìm các số nguyên a và b sao cho a+b=25 và các nghiệm của phương trình x2+ax+b=0 là nguyên. Tìm các nghiệm đó.
Câu 4: Giải hệ phương trình:

Câu 5: Giải hệ phương trình:

Câu 6:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(
;1) và đường thẳng d có phương trình y = -1.
a)Tìm tập hợp các điểm M(x;y) cách đều điểm F và đường thẳng d
b) Đường thẳng d1 : 2x – 2y – 3 = 0 cắt hình tìm được ở câu a) tại 2 điểm A và B. Xác định toạ độ các điểm đó và góc AFB.
Câu 7: Cho
thoã mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 8: Cho
ABC vuông ở A có (B = 20o vẽ phân giác trong BI, vẽ (ACH = 30o về phía trong tam giác. Tính (CHI
Câu 9:
Cho
ABC có 3 góc nhọn. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính là AB và AC. Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M và N (khác A)
a> Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định
b> Giả sử
ABC cân tại A. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BCNM lớn nhất
Câu 10:
Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng một đường thẳng qua một đỉnh sao cho chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.


Câu
ý
Nội dung
Điểm

1


a
Với | x | ≤ 1 Ta có | f(0) | = | c | ≤ 1 (do | f(x)| ≤ 1)
| f(1) | = | a + b+ c | ≤ 1; | f(-1) | = | a - b+ c | ≤ 1;
Do đó: -1 - c ≤ a + b ≤ 1 - c và -1 - c ≤ a - b ≤ 1 - c


Khi a = 0 ; b = 2 hoặc a = 2; b=0
0,25

0,25

0,25
0,25






b
Do d là ước của a và b thì:


nguyên









(đpcm)

0,25

0,25



0,25

0,25

2
a
T a có: a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=[(a-1)2+1][(a+1)2+1] (*)
áp dụng (*) ta có :


0,25


0,5

0,25


b
Ta có :
(do xyz=1)

( do xyz=1)
do đó :

0,25

0,25



0,5

3

Điều kiện cần để c