HSG Toan 9

Đề 90



Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức
.
a) Tìm các giá trị của x để
.
b) Chứng minh rằng
với mọi x thoả mãn
.

Bài 2: (5,0 điểm).
Giải các phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 2

Giải hệ phương trình sau:


Bài 3: (3,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

.

Bài 4: (2,0 điểm).
Cho
ABC đều điểm M nằm trong
ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?

Bài 5: (6,0 điểm).Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.











Đề 91


Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:


a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:


Bài 3: (2,0 điểm).
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T =



Bài 4: (3,0 điểm).
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Gọi E, F, và K lần lượt là trung điểm của BD, AC và MN.
a) Chứng minh các điểm E, F, K thẳng hàng.
b) Tìm tập hợp các điểm I nằm trong tứ giác thoả mãn

Bài 5: (6,0 điểm).
Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
b) Tam giác EPQ là tam giác cân.












Đề 92



Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức :


a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P
.
b) Tìm x thoả mãn :

Bài 2: (5,0 điểm).
a) Giải phương trình :


b) Giải hệ phương trình :
x2y – 2x + 3y2 = 0
x2+ y2x + 2y = 0
Bài 3: (3,0 điểm).Cho
thỏa mãn :


Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .
Bài 4: (6,0 điểm).Cho
với BC=a, CA=b, AB=c (ca) Chứng minh rằng :
.
b) Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng .
Bài 5: (2,0 điểm).Cho hai tiếp tuyến AB và AC của nữa đường tròn(O) (B, C là hai tiếp điểm). Qua điểm X của cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến đến đường tròn này nó cắt AB và AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng chu vi tam giác AMN và góc MON không phụ thuộc vào việc chọn điểm X trên cung nhỏ BC.