HSG Toan 9

Đề Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 ( Số 4)
Câu 1: (2 điểm)
a> Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Với a,b ≥ 0
thõa mãn điều kiện |f(x)| ≤ 1
| x | ≤ 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a2 + b2
b> Giả sử a, b là số nguyên dương sao cho

là một số nguyên. Gọi d là ớc số của a và b
CMR:


Câu 2: (2 điểm)
a> Hãy tính

b> Cho xyz = 1. Hãy tính tổng sau:

Câu 3: (2 điểm)
Tìm các số nguyên a và b sao cho a+b=25 và các nghiệm của phương trình x2+ax+b=0 là nguyên. Tìm các nghiệm đó.

Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình:


Câu 5:(2 điểm)
Giải hệ phương trình:


Câu 6: (2 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(
;1) và đường thẳng d có phương trình y = -1.
a)Tìm tập hợp các điểm M(x;y) cách đều điểm F và đường thẳng d
b) Đường thẳng d1 : 2x – 2y – 3 = 0 cắt hình tìm được ở câu a) tại 2 điểm A và B. Xác định toạ độ các điểm đó và góc AFB.

Câu 7: (2 điểm)
Cho
thoã mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



Câu 8: (2 điểm) Cho
ABC vuông ở A có (B = 20o vẽ phân giác trong BI, vẽ (ACH = 30o về phía trong tam giác. Tính (CHI


Câu 9: (2 điểm)
Cho
ABC có 3 góc nhọn. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính là AB và AC. Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M và N (khác A)
a> Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định
b> Giả sử
ABC cân tại A. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BCNM lớn nhất


Câu 10: (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng một đường thẳng qua một đỉnh sao cho chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.



























Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán


Câu
ý
Nội dung
Điểm

1


a
Với | x | ≤ 1 Ta có | f(0) | = | c | ≤ 1 (do | f(x)| ≤ 1)
| f(1) | = | a + b+ c | ≤ 1; | f(-1) | = | a - b+ c | ≤ 1;
Do đó: -1 - c ≤ a + b ≤ 1 - c và -1 - c ≤ a - b ≤ 1 - c


Khi a = 0 ; b = 2 hoặc a = 2; b=0
0,25

0,25

0,25
0,25






b
Do d là ước của a và b thì:


nguyên










(đpcm)

0,25

0,25



0,25