HSG Toán 9(2007-2008)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
GIA LAI Năm học: 2007 – 2008
---------------------------------- Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)

ĐỀ BÀI:
Bài 1: ( 2,5 điểm)
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? Vì sao?
Bài 2: ( 2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số dương
, ta có:


Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 3: ( 2,5 điểm)
Xác định giá trị nguyên của
để cho phương trình sau đây có hai nghiệm số trái dấu nhau:
.
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho
và
.
Tính
.
Bài 5: ( 4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ
, tìm tập hợp những điểm
thỏa mãn hệ thức:
.
Trong những điểm đó, tìm điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ
là nhỏ nhất.
Bài 6: ( 2 điểm)
Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (không có điểm là số âm). Chứng tỏ rằng có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau.
Bài 7: ( 4 điểm)
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D).
a) Chứng minh: AC.DB = AD.CB .
b) Phân giác góc CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là phân giác góc CBD.

-----------------------HẾT-----------------------




SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
GIA LAI Năm học 2007 - 2008

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN 9

( ĐỀ CHÍNH THỨC )



Bài 1: ( 2,5 điểm )

Ta có:


………………………………………1,0đ
Do đó:
,
nguyên dương

nguyên,
,
……………...…0,5đ


nguyên,
,
……………………0,5đ
Vậy có 33 giá trị
thỏa mãn điều kiện trên.
Tương ứng với phương trình đã cho có 33 nghiệm nguyên dương……………0,5đ

Bài 2: ( 2 điểm )

Ta có:



…………………...1,0đ


(đpcm)………………….0,5đ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
…………………………………….0,5đ

Bài 3: ( 2,5 điểm )

Để phương trình có hai nghiệm số trái dấu nhau, điều kiện là:




…………………………………………...............1,0đ

(
và
) hoặc (
và
)………0,5đ

(
và
) hoặc (
và
)


…………………………………………………………..0,5đ
Vậy:
………………………………………………………………...0,5đ


Bài 4: ( 3 điểm )

Ta có:


………………………1,0đ
Tương tự:

……………………………………1,0đ
Suy ra:
,
,

Vậy:


…………………………………...1,0đ

Bài 5: ( 4 điểm )

a) - Trường hợp 1:
hay

Phần đồ thị là đoạn thẳng
, với
và
……...…………………0,5đ

- Trường hợp 2:
hay

Phần đồ thị là đoạn thẳng
, với
……………………………….…0,5đ

- Trường hợp 3:
hay

Phần đồ thị là đoạn thẳng
, với
……………………………….....0,5đ

- Trường hợp 4:
hay

Phần đồ thị là đoạn thẳng
……………………………………………......0,5đ

Kết luận: Tập hợp các điểm
là đường biên của hình vuông
, nhận
là
tâm đối xứng……………………....................................................0,5đ
b) Điểm có khoảng cách đến
nhỏ nhất là chân các đường vuông góc

hạ từ
lần lượt đến các cạnh
.
Suy ra:
lần lượt là trung điểm của
…...………..0,5đ
Vậy:
,
,
,
………………0,5đ

c) Hình vẽ:…………………………………….…………………………………0,5đ






















Bài 6: ( 2 điểm )

Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:
- Làm đúng 5 bài, được 10 điểm.
- Làm đúng 4 bài, được