HSG QUE SON-2017-2018

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)



ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Bài 1 (4,0 điểm):
a) Thực hiện tính: /
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c và a’, b’, c’ là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng (các cạnh có độ dài a, b, c lần lượt tương ứng với các cạnh có độ dài a’, b’, c’) thì: /
c) Chứng minh: /
Bài 2(4,0 điểm):
Giải các hệ phương trình sau:
a) / b) /
Bài 3 (5,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC có AD và CE là các đường cao. Gọi H là giao điểm của AD và CE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE cắt AC tại F.
a) Chứng minh ba điểm B, H, F thẳng hàng.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và BC. Chứng minh đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng MN.
c) Tia phân giác của góc BAC cắt MN tại K. Chứng minh MK= MA.
Bài 4 (4,0 điểm):
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là điểm di chuyển trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm D sao cho MD = MB.
a) Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì điểm D di chuyển trên đường nào?
b) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để MA + MB + MC lớn nhất.
Bài 5 (3,0 điểm):
Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp. Chứng minh: /chia hết cho 9.


==== HẾT====



UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018



HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN- VÒNG I

Bài 1 (4,0 điểm):
/
/
(/
/
0,50
0,25
0,25
0,25

Đặt: /được a’ = ka; b’ = kb; c’ = kc.
Thay / (Do a>0, b>0, c>0)
Và /
(Do a + b + c > 0)
0,25
0,50
0,50

/
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2(4,0 điểm):
Đặt x+ y = X và x – y = Y được /
Thay Y từ (1) vào (2) được: /

0,25
0,75


x+ y = 10 ( x – y = 8.
0,50

Giải hệ / được /

0,50




/
0,25

Thay (2) vào (1) được:
/

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Phương trình /= 0 vô nghiệm; Phương trình có x2– 1 = 0 nghiệm x = ±1.
0,25

Vậy hệ có nghiệm (1; 0) và (-1; -2)
0,25

Bài 3 (5,0 điểm):
/
Có (HEA=900( Đường tròn đường kính HA là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
0,50


((AFH =900 (Góc nội tiếp chắn ½ đường tròn). Hay HF ( AC
0,50


Lại có BH ( AC (H là trực tâm của (ABC)
0,25


( Ba điểm B, H, F thẳng hàng (Tiên đề Euclude).
0,25






Từ a) được BF( FC ( F thuộc đường tròn tâm N đường kính BC.
0,50


Từ CE ( EB ( F thuộc đường tròn tâm N đường kính BC.
0,25

( E, F là giao điểm của đường tròn tâm M đường kính HA (N) với đường tròn tâm N đường kính BC (M)
0,50

( EF là dây chung của (N) và (M) ( EF( MN.
0,50




Gọi K’ là giao điểm của MN với đường tròn (M) có:
Do K’ thuộc (M) nên: (K’FE =(K’AE và (K’EF=(K’AF