HSG HAI PHONG 2016-17

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG



(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 12/4/2017


Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của
.
b) Cho biểu thức
với a > 0, a ( 1.
Với những giá trị nào của a thì biểu thức
nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho phương trình:
(m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm
và
sao cho
?
b) Cho hệ phương trình

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
và
thỏa mãn điều kiện
.
Bài 3. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho
chia hết cho
.
b) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q).
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.

---------Hết---------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Năm học 2016 - 2017
MÔN: Toán 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Chú ý:
Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
Tổng điểm bài thi: 10 điểm .

Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1
(2 điểm)
1a) (1,0 điểm)


Ta có :


0,25




0,25




0,25


Thay giá trị của x vào P ta được:


0,25


1b) (1,0 điểm)


Với điều kiện
thì:




0,25


Khi đó

Ta thấy với



0,25


Do

Để N có giá trị nguyên thì N = 1.
0,25


(
(

(

Vậy


0,25
















Bài 2
(2 điểm)
2a) (1,0 điểm)


Phương trình:
có hai nghiệm thì:

.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:


0,25


Ta có:


0,25


Trường hợp 1:
Nếu
và
cùng dấu thì:


(*)
Khi đó (1)
(thỏa mãn (*)).
0,25


Trường hợp 2:
Nếu
và
trái dấu thì:
(**)
Khi đó (1)


(không thỏa mãn điều kiện (**).
Kết luận:

0,25


2b) (1,0 điểm)




Ta có



0,25


Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:

0,25


Theo đề bài:

do
.
0,25