HSG - de - dap an

Đề thi học sinh giỏi khối 9
môn : Toán
(Thời gian: 150 phút)
đề bài
Câu I ( 4 điểm )
Giải phương trình:
1. x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
2.
CâuII (3 điểm )
1. Tính
P =
2. Tìm x biết
x =
Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn.
Câu III ( 6 điểm )
1. Chứng minh rằng số tự nhiên
A = 1.2.3.....2005.2006chia hết cho 2007
2. Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn : x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
3. Chứng minh bất đẳng thức:


Câu IV ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH . Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật;
2. Chứng minh AE.AB = AF. AC;
3.Đường rhẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC;
4. Chứng minh rằng nếu diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Câu V ( 1 điểm)
Cho tam giác ABC với độ dài ba đường cao là 3, 4, 5. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?


Đáp án và biểu điểm chi tiết
CâuI ( 4 điểm )
1. x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
x - 1)( x2 + 5x - 24) = 0 ( 1 điểm)
x - 1)(x - 3)(x + 8) = 0 (0,5 điểm)
Giải phương trình trên ta được x1= 1, x2 = 3, x3 = - 8 là nghiệm của phương trình (0,5 điểm)
2.
(1 điểm)
6 + 2
2vô lí (0,5 điểm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. (0,5 điểm)
Câu II.( 3điểm)
1. P =
Ta có: 20002 = ( 1999 + 1)2 = 19992 + 2.1999 + 1
1 + 19992 = 20002 - 2.1999 (0,5 điểm)
P =
P = = 2000 - +
Vậy P = 2000 (0,5 điểm)
2.
x =
Nhận thấy: x > 2 (0,25 điểm)
Xét : x2 = 5 +
x2 - 5)2 = 13 + x (0,75 điểm)
x4 - 10x2 - x + 12 = 0 (0,25 điểm)
x - 3)[( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1] = 0 (0,25 điểm)
Vì x > 2 x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1 > 0 (0,25 điểm)
x = 3 (0,25 điểm)
Câu III ( 6 điểm)
1. Ta biến đổi tổng trong dấu ngoặc
= (0, 5 điểm)
=2007ặt2007.B
(0,75 điểm)
Vậy A = 1.2.3...2006.2007.B nên A chia hết cho 2007 (0,75 điểm)

2.
Ta có: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1 (0, 25 điểm)
Thay vào