HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi 09/10/2017
(Thời gian: 150 phút không tính thời gian phát đề)


Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:

; (x > 0; y > 0).
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi
;


c) Cho xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài 2: (3 điểm). Giải các phương trình sau:
a)

b)

Bài 3: (3 điểm).
a) Cho a; b nguyên dương và a + 1; b + 2007 đều chia hết cho 6.
Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6
b) Tìm các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình: 7x - xy - 3y = 0
Bài 4: (6 điểm). Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE.
a) Chứng minh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH
b) Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác DHC gấp 4 lần diện tích tam giác AHF
c) Chứng minh rằng

Bài 5: (4 điểm).
a) Cho ba số
thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức:

b) Cho a; b; c là ba số dương thỏa mãn abc = 1
Chứng minh rằng:


Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:...............................
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:...............................
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2017 - 2018
Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1
(4 điểm)
a)









(*)




0,5


0,5


0,5


b)
=




=



Thay
vào (*) ta được


0,5



0,5


0,5


 c) Ta có:




(vì xy = 16)
Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả mãn ĐK đề bài)



0,25

0,5

0,25

Bài 2
(3 điểm)

a)
(1)
ĐKXĐ

(**)
Ta có (1)



(ĐK
)



(thỏa mãn các ĐK);
(loại vì không thỏa mãn (**))
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
.


0,25


0,5

0,5

0,25


b)
(2)
Điều kiện:

(2)




(thỏa mãn ĐK);
(không TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
.


0,25

0,5


0,5



0,25

Bài 3
(3 điểm)
a) 4a + a + b = (4a + 2) +(a + 1) + (b + 2007) – 2010
Ta có:
;
;



Mặt khác:
là số chẵn
mà
nên

Vậy

0,5

0,5
0,25
0,25


b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) của phương trình: 7x - xy - 3y = 0
Ta có: 7x - xy - 3y = 0
(3)
Vì
nên
từ (3) suy ra

hoặc

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là:

;

0,5




0,75

0,25












Bài 4
(6 điểm)
- Học sinh vẽ hình đúng














0,5


a) Xét tam giác ADE và tam giác HDA
Có
(gt);
là góc chung
Vậy

(g.g)


Từ