Hoc ne

Công dụng:
Dùng để chia một đa thức bậc n có dạng anxn + an-1xn-1 +…+a0 cho biểu thức (x-a)

Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, sơ đồ Hoc-ne thường được dùng nhiều nhất trong việc giải phương trình bậc 3 (hay bậc cao hơn), khi ta đã biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm)

Cách chia:
Nếu không dùng sơ đồ hoc-ne, bạn vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8 để thực hiện việc chia đa thức. Ngoài ra, nếu để ý kỹ, bạn sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng sơ đồ Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà bạn đã học.

Giả sử ta có đa thức x3 + 2x2 – 5x -6. Bây giờ, ta muốn chia đa thức này cho biểu thức (x-2). Ta lần lượt thực hiện các bước sau:

Bạn lần lượt viết các hệ số của đa thức lên một hàng ngang, và số a nằm bên trái, như hình vẽ sau:

Ở đây, có một lưu ý nhỏ: Vì bạn chia cho đa thức (x-2) nên số a là 2, nếu đa thức chia là (x+2) thì số a phải là -2 vì x+2 = x – (-2)


1 2 -5 -6

2



Bạn hãy nhớ câu thần chú: “Cắt đầu đem xuống”. Vì số 1 đứng đầu, ta đem số 1 xuống hàng dưới:

1 2 -5 -6

2
1

Số 1 chạy xuống dưới, thấy số 2, liền chạy đến ôm số 2. Ta lấy 2*1. Hai đứa này ở chung vẫn thấy buồn, nên nó chạy lên hàng trên, kéo hệ số tiếp theo xuống. Bây giờ, ta có 2*1+2=4. Ta đem số 4 này xuống hàng dưới

1 2 -5 -6

2
1 4

Tương tự, ta xem số a như một cô gái đẹp, mỗi số mới ở hàng dưới là một chàng trai. Mỗi chàng trai mới xuất hiện ở hàng dưới đều chạy đến ôm cô gái đẹp đó (số a, trong ví dụ này là số 2), rồi nhảy lên trên, cộng với hệ số trên để tạo thành một số mới ở hàng dưới. Cứ tiếp tục như thế cho đến số cuối cùng.

(4*2-5=3 ( ta viết hệ số 3 ở hàng dưới)

1 2 -5 -6

2
1 4 3

(3*2-6=0)

1 2 -5 -6

2
1 4 3 0


Cuối cùng, ta có (x3 + 2x2 – 5x -6): (x-2) = (x2 + 4x + 3)
Hay: (x3 + 2x2 – 5x -6)= (x-2).(x2 + 4x + 3)

Bạn thấy rằng, đa thức thương sẽ có bậc nhỏ hơn đa thức bị chia là 1, vì đa thức thương nhân với biểu thức (x-a) sẽ ra biểu thức bị chia.


Bây giờ, giả sử đề yếu cầu giải phương trình bậc ba: x3 + 5x2 + 2x -8=0, ta làm như sau:
Cách 1: Bấm máy (
Cách 2: Ta thấy phương trình trên có 1 nghiệm x=1 (bạn thế x=1 vào biểu thức trên sẽ thấy nó =0). Sau khi nhẩm được nghiệm x=1, ta chia đa thức (x3 + 5x2 + 2x -8) cho (x-1). Dùng sơ đồ Horner để chia, các bạn sẽ được: x3 + 5x2 + 2x -8 = (x-1)(x2+6x+8). Bây giờ, ta chỉ việc giải phương trình bậc hai x2+6x+8=0, bạn sẽ dễ dàng tìm được 2 nghiệm còn lại là x2=-2 và x3=-4
Vậy, ta kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm:
x1 = 1; x2=-2, x3=-4