Hệ thức vi-et lớp 9

I. Mở đầu:
Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớp chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dung chương trình Toán THCS.
Hệ thức Viét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ,dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp.
Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào ôn thi cho học sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt.
II. Nội dung:
A. Lý thuyết:
+ Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 thì
S = x1 +x2 =

P = x1.x2 =

+ Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Viét đảo)
B. Nội dung:
Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 =

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = -

Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) -7x2 - x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1 = 1, x2 =
=

b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x1= -1, x2 = -
=

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
a) x2 - 7x + 10 = 0
b) x2 + 6x +8 = 0
Giải:
a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5
b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên
x1 = -2, x2 = -4
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho
Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại
Giải:
Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p =
. Theo hệ thức Viét ta có
x1x2 =
mà x1= 2 nên x2 =

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có
x1 x2 =
mà x1 = 2 nên x2 =
.
Mặt khác x1+ x2 =
(
= 2 +
( p =

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0.
Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại
Giải:
Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1
Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu có nghiệm thoả mãn:
a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu
b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương
c) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm
Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau