HD gảii toán hình tứ giác

HD giải 3 bài toán hình tứ giác

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A,có cạnh AB=6 cm, gọi D,E lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi F là điểm đối xứng với D qua E
       a, Tính DE ?
       b, Chứng minh ABDF là hình bình hành
       c, Chứng minh ADCF là hình thoi. Tính cạnh hình thoi biết AC=8 ?
       d, Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để ADCF là hình vuông? 

Giải
a,  (ABC có: D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AC
(DE là đường trung bình của (ABC
( DE=1/2AB và DE//AB (DE=1/2AB =3 (cm)

b, Có: F là điểm đối xứng với D qua E
(DE=DF; (DF=2DE=AB
(ABDF là hình bình hành 

c, ABDF là hình bình hành (AF//BD và AF=BD
Mặt khác D là trung điểm của BC
(BD=AF=BD(5) (ADCF là hình bình hành
Ta lại có: AB(AC và AB//DF(AC(DF
Vậy hình bình hành ADCF có hai đường chéo vuông góc hay là ADCF là hình thoi □

Có ADCF là hình thoi (AE=1/2AC=4
(ADE có( E=90o (AC(DF)
(AE2+DE2=AD2 (Định lý Pythagore)
thay AE=4 và DE=3 tính được AD=√25 =5

d, Để ADCF là hình vuông thì AD(BC
Mà có DC=DB=1/2BC(gt) nên AD(BC khi và chỉ khi AD là đường trung trực của BC
Tức là AB=AC hay (ABC vuông cân tại A
(Điều kiện để ADCF là hình vuông là (ABC vuông cân tại A (Hình 2)


Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và (A=60 độ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD và E là điểm đối xứng của A qua B
a, Chứng minh tứ giác ABMN là hình thoi
b,Chứng minh tứ giác AEMN là hình thang cân
c,Chứng minh tứ giác BECD lf hình chữ nhật

Giải
a,/ Hình bình hành ABCD có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AD
(MN là đường trung bình của ABCD. 
(MN//AB//CD (1) MN=1/2(AB+CD) (2)
(MN=AB=CD (3) (do ABCD là hình bình hành hay AB=CD).
Mặt khác BC=2AB⇒BM=CM=1/2BC=AB (4)
Từ (1),(3) (ABMN là hình bình hành  (AN=BM(5)
Từ (4),(5) (AN=AB(=BM) (ABMN là hình thoi □


b/, ABCD là hình bình hành 
(AD//BC ; (A= (EBCˆ=60 o (6) (góc đồng vị)
E là điểm đối xứng của A qua B nên 
(AB=BE=BM (7) (theo (4))
Từ (6),(7) ((BME đều. (BEMˆ=60o
Vậy (A= (BEMˆ=60o
Mà MN//AB nên AEMN là hình thang cân □

c/, (BME đều (cmt) nên ME=BM=1/2BC
Suy ra (BEC vuông tại E hay (BECˆ=90o
(ECD=180o− (BECˆ=90o (AE//CD) 

Đến đây ta cần một bổ để để chứng minh tiếp.
Bổ đề 1: Cho (ABC có (B=60o, AB=1/2BC. Chứng minh được ( BAC=90


Theo bổ đề trên ta thấy (ABD có (BADˆ=60o và AB=1/2BC=1/2AD (ABDˆ=90o
((EBDˆ=90o (kề bù)
Tứ giác BECD có (BEC= (ECD= (EBDˆ=90o  nên là hình chữ nhật□


Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD và (A= (D=90 o ) có AB=AD; kẻ đường cao BK(K thuộc DC)  a) Cm: tứ giác ABKD là hình vuông  b)Từ D hạ DH vuông góc vs đường chéo AC(H thuộc AC),gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của DH và HC.Cm:M là trực tâm của tam giác AND 

HD Giai

a,/ Do tứ giác ABCD la hinh tứ giác co cac canh doi song song va bang nhau nen la hinh binh hanh  Hinh binh hanh co hai canh ke bang nhau