HD chứng minh ĐL Morley

HD chứng minh định lý Morley

Đây là bài toán CM một định lí khá hay có tình tiết “đánh bẫy nhau”, xin giới thiệu để các bạn tham khảo

( Bài toán về Định lý Morley như sau:

Cho ( ABC. Các đường chia ba góc A, B, C của tam giác cắt nhau tại các điểm X, Y, Z như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng (XYZ là một tam giác đều. 

(Hình 1)

(Chứng minh: 
Ta ký hiệu các góc 
.  ( 
a +
b+
c = 1800/3 = 60o. 
ký hiệu, 
a′=
a+60 o,
b′=
b+60 o, 
c′=
c+60 o. 

Như vậy thì  
a +
b′ +
c′ =
b +
c′ + 
a′=
c +
a′ +
b′ = 180 o. [1]

Trên thực tế cũng như li thuyết, việc chia ba một góc không phải đơn giản (Người ta đã CM rằng không thể dùng thước và compa chia 3 một góc cho trứơc bất kì) Vì vậy thay vì bắt đầu từ (ABC với việc vẽ các đường chia đều 3 góc
A,
B và
C, thì ta bắt đầu vẽ một (đều XYZ trước. Tiếp theo đó, ta vẽ ở phía bên ngoài (đều XYZ các (XYC, (YZA, (ZXB (Hình 2) sao cho  :

XCY=
c,  
XYC=
a′,  
YXC=
b′,
YAZ=
a,  
YZA=
b′,  
ZYA=
c′,
ZBX=
b,  
ZXB=
c′,  
XZB=
a′ .

(Hình 2)







Ta có thể vẽ được các hình (XYC, (YZA, (ZXB này là vì 

a +
b′ +
c′ =
b +
c′ + 
a′=
c +
a′ +
b′ = 180 o. [1]

Bây giờ ta là phải đi chứng minh
BAZ= 
 CAY=
a,   
 ABZ= 
CBX=
b,   
 BCX= 
 ACY=
c.










(Hình 3) (





Kẻ thêm XP và XQ sao cho
 
ZXP=60o, 
PXB=
c và 
YXQ=60 o, 
QXC=
b  như hình 3. 
Rõ ràng hai tam giác (ZXP = (YXQ ( có XP=XQ.

Xét hai tam giác (BPX và (XQC là hai ( này đồng dạng vì có hai cặp góc bằng nhau ( BP/XQ=BX/XC.
Thay XQ=PX vào chúng ta có BP/PX=BX/XC.

Xét hai tam giác (BPX và (BXC. Chúng ta dễ dàng thấy  
BPX=
BXC=a+120o. 
Ở trên chúng ta đã chứng minh cặp cạnh tỉ lệ BP/PX=BX/XC,
 ( hai tam giác (BPX và (BXC là hai tam giác đồng dạng.  
(
XBC=
PBX=
b và 
XCB=
PXB=
c.

Chứng minh tương tự chúng ta sẽ có 
BAZ=
a,
ABZ= 
b và 
CAY=
a,
ACY=
c. 
(Vậy định lý đã được chứng minh.


(Nhận xét
Như đã thuyết minh ở phần trên, “Dầu bài” này đưa ra việc “chia ba góc A, B, C của tam giác” là “cái bẫy” đánh lừa HS. Nếu cứ lao vào xuôi chiều theo đầu bài, chẳng những sa đà mất thời gian mà còn chứng tỏ chưa hiểu gì về “bài toán chia ba một góc”.
Vì vậy đây là bài toán khá hay để chọn HSG.

(Chuyện tham khảo
Có môt giáo viên trường PT cấp III – X (dạo ấy chưa gọi là THPT) dùng đề toán trên
cho một cuộc thi ( thời ấy cũng chưa có thi HSG các cấp như bây giờ). Có 1 HS đọc trong ít phút rồi ghi vào bài làm : “Bài toán không giải được, vì không thể chia ba bất cứ góc nào cua tam giác thày cho”. Măc dù vậy, GV vẫn cho điểm tuyệt đối= 5 ( thang điểm thời ấy )



ST & BS : Phạm Huy Hoạt 12-2012 - Nguồn TK chính Web “vuontoan”