Hayko

Phần 5 BẤT ĐẲNG THỨC.
GTLN VÀ GTNN
1) bất đẳng thức Cauchy.
Với là những sôù dương , ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ
Với mọi ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đặc biệt .

Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thị việc chứng minh có thể dễ hơn một ít.
Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thị , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm ……


Cauchy ngược dấu

Cho
và
Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
)
Ta có
Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được

Mà
Vậy từ
và
ta được

Đẳng thức xảy ra khi
và hay

Cho và
Tìm giá trị nhỏ nhất

Giải
Ta có
Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được

Mà
Từ đó suy ra

Đẳng thức xảy ra khi
và hay
Chứng minh rằng
số dương
,
ta luôn có.

Giải
Ta có


Cộng vế theo vế ta được đpcm


Chứng minh rằng
số dương
,ta luôn có.


Giải
Ta có

Chứng minh tương tự ta có.

Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh





a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng chứng minh rằng :

Giải :
a) Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương ta có .

Trong đó

nhân vế theo vế
ta được

(đpcm)
b) như chứng minh trên ta có .

Cộng vế theo vế ta được đpcm


Bài tập Cauchy ngược

Cho
và
Chứng minh rằng

Cho
ø Chứng minh


Cho
và
Chứng minh

Cho

Chứng minh

Cho
.
Chứng minh :

Đẳng thức xảy ra khi nào .

Cho là các số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng


Điểm rơi của Cauchy

Cho
và
Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
áp dụng Cauchy cho 3 số dương.

Cộng vế theo vế ta được .



Cho
và
Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải
(Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là
)
áp dụng Cauchy cho 4 số dương .

cộng vế theo vế ta được .


Vấn đề là tại sao ta biết cộng hai số
và hai số 1 ta đi tìm tính tổng quát của bài toán .

Cho
,
và
Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải
áp dụng Cauchy cho b số dương ta có .

Tương tự ta có .

Cộng vế theo vế ta được .



Cho , và
Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải
Gọi số
là số dương giả định và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương .


Cộng vế theo vế ta được.
(*)
Đẳng thức xảy ra khi .
do đó từ (*) ta được

Khi đó giá trị nhỏ nhất là .


Bài tập điểm rơi của Cauchy


Cho , và
Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho , và
Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho , và
Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho , và
Tìm giá trị nhỏ nhất








Cauchy thuận- phép tương đương-Bunhiacôpxki hay Cauchy-Svaxơ

Cho ba số
bất kỳ . Chứng minh rằng

Giải

Cách1
Aùp dụng Cauchy cho hai số dương ta luôn có .


Tương tự .

Cộng vế theo vế ta ra điều phải chứng minh .
Cách2
Dùng phép biến đổi tương đương ,ta chứng minh


Bất đẳng thức luôn luôn đúng với mọi

Cách3
dùng tam thức bậc