HAI DUONG 2011

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2011 (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1 (1,5 điểm)
Phân tích đa thức
thành nhân tử.
Câu 2 (2,5 điểm)
Giải phương trình
.
Giải hệ phương trình
Câu 3 (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :

là số hữu tỉ và
là số nguyên tố.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
Chứng minh PI.AB = AC.CI
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh
thỏa mãn
.
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh

.
………………………Hết………………………


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011


+ Đáp án gồm có 05 trang
+ Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng

Câu
Ý
Nội dung
Điểm


1

Phân tích đa thức
thành nhân tử
1,50



A =

0,25





0,25





0,5





0,5

2
a
Giải phương trình
(1)
1,50





Vậy TXĐ:

- Nếu
thì VP(1)
(không thỏa mãn)
0,5



- Nếu
thì (1)



Từ (1) và (2) suy ra

0,5





0,25



Thử lại. Với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25


b
Giải hệ phương trình
1,00



- Nếu x = 0 thì hệ có nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0)
0,25



- Nếu
. Ta có :

0,25



Cộng theo vế các phương trình của hệ ta được


0,25




. Thử lại ta thấy
thỏa mãn hệ pt đã cho.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0),
.
0,25

3
a
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1,00



Ta có
, trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn
n > 0, (m, n) = 1.

.
0,25



Vì
là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có
(2) <=> nx – my = ny – mz = 0
.
0,25



Ta lại có :



Vì
là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z = 1. Do đó

0,25



Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên

Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1.
Khi đó
và
(thỏa mãn)
Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25


b
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
1,00



Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy <=> 6xy – 15x = 20y2