Gửi Triệu Minh 2 bài BĐT

Bài 1: Cho a,b,c >0 và n là số tự nhiên
. CMR :


Bài 2: chứng minh rằng trong mọi tam giác có


Bài làm
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho n số dương :
ta có:

hay
(1)
Dấu “=” xảy ra khi (

(
(a+b)(n-1)=1
Làm tương tự ta có:

(2)

(3)
Dấu bằng xảy ra trong (2) và (3) xảy ra khi (a+c)(n-1)=b và (b+c)(n-1)=a
Từ (1),(2),(3) suy ra sau khi đảo ngược phân số ta có


Cộng cả 3 đẳng thức trên ta có:

(4)
Dấu bằng trên các đẳng thức trên xảy ra khi
(a+b)(n-1)=c
(b+c)(n-1)=b (*)
(b+c)(n-1)=a
Từ (*) sau khi cộng lại ta có : 2(n-1)(a+b+c)=a+b+c
=> n=
(**)
Vì n là số tự nhiên nên (*) và (**) không thỏa mãn. Vậy (4) không xảy ra dấu bằng hay
=> ĐPCM
Bài 2 :
Từ GT ta có :
(3a-b-c)(3b-a-c)(3c-b-a)

Ta chỉ cần xét VT
. Khi đó ta sẽ có được cả 3 thừa số
(tự chứng minh)
Đặt x = 3a-b-c

y = 3b-a-c

z = 3c-a-b

Từ đó ta có:
a =

b =

c =

=> GT (=) 64xyz
(2x+y+z)((2y+x+z)(2z+x+y) (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 4 số ta có:

(2)

(3)

(4)
Nhân từng vế với vế của (2),(3),(4) (do các vế của chúng đều
0)=> (1) đúng =>ĐPCM
Dấu “=” xảy ra khi (=) x=y=z (=) a=b=c hay khi ABC đều