Gửi em Nguyễn Mạnh Hùng (2 câu)

Câu 1: Chứng minh: 2(12013+22013+…+n2013) chia hết cho n(n+1) với n nguyên dương.
Câu 2: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=1. Chứng minh:

+

Câu 1 Áp dụng tính chất với

Đặt A= 2(12013+22013+…+n2013)
Xét n chẵn
chia hết cho n+1(1)
Mặt khác
chia hết cho n mà n và n+1 nguyên tố cùng nhau nên(2) từ (1) và (2) suy ra

Xét n lẻ

chia hết cho n+1(3)
Mặt khác

chia hết cho n mà n và n+1 nguyên tố cùng nhau nên(4) từ (3) và (4) suy ra


Câu 2( Phải là thực dương)
Hướng dẫn
Vì
nên ta có :

Áp dụng BĐT
, có:

suy ra

Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng theo vế các BĐT thu được, ta có:


Dấu “=” xảy ra khi


Cách khác