Giải một số bài BĐT hay

CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN

Bài 1: Thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2007 – 2008
Cho x, y, ≥ 0 ; x + y + z = 1. Chứng minh rằng


Cách 1:
*) Xét với
(1)
Mặt khác từ:




(2)
Từ (1) và (2)

*) Với

mặt khác từ
(3)
Từ (3) Ta có:








mà
(4)

(5)
Dấu “=” ở (5) xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (3) và (4) xảy ra, nghĩa là:




Cách 2: Ta đi chứng minh một bất đẳng thức phụ sau: với x, y, ≥ 0 ta có:

(1)
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
*) Trường hợp 1: Cả 3 thừa số đều âm hoặc có hai thừa số dương và một thừa số âm thì (1) hiển nhiên đúng.
*) Trường hợp 2: Có hai thừa số âm, một thừa số dương
Giả sử:
(trái với giả thiết, vậy trường hợp này không xảy ra).
*) Trường hợp cả 3 thừa số đều dương: Ta đặt


Áp dụng Bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số không âm, ta có:

(2) :
(3) ;
(4)
Nhân vế với vế của (2), (3) và (4) ta được:


Như vậy trong mọi trường hợp ta luôn chứng minh được:

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Mặt khác do x + y + z = 1, nên ta có thể phân tích (1) như sau:




mà theo bất đẳng thức Cô-si thì

(5)
Vậy:



Dấu “=” xảy ra






Bài 2: Thi chuyên Vĩnh Phúc năm 2008 – 2009
Cho x, y, z là 3 số thực dương . Chứng minh rằng:


Ta có:

Xét:

Đến đây áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky cho 2 cặp số

Ta có:


nhưng do x, y, z >0 nên, suy ra

(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có :
(2)

(3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3), ta có:

(4)
Dấu “=” ở (4) xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) , (2) và (3) xảy ra, tức là:



Bài 3: Đề thi GVG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2006 – 2007
Cho 3 số dương a, b, c luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức


Ta có:

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a, b ta có:


(1)
Hoặc bất đẳng thức thức Cô-si cho 2 số a2 và b2 ta cũng có :




Tương tự ta cũng có

(2) và

(3)
Cộng từng vế của (1) , (2) và (3) ta có:


Vậy
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:


Vậy


Bài 4: Đề thi GVG tỉnh Vĩnh Phúc 2008 – 2009
Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Hãy tìm GTNN của



Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky
Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ky cho các số dương ta có:




Mặt khác ta luôn chứng minh được:

thật vậy:




Hay
. dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy Min P = 1 ( a = b = c (khi đó tam giác là tam giác đều)





Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
Ta đặt:






Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:


Dấu “=” xảy ra (

Vậy Min P = 1 ( a = b = c (khi đó tam giác là tam giác đều)