Giải đề Toán khó

ĐỀ TOÁN KHỐI 9 - THÁNG 1
Hạn chót nộp bài: 25/1/2010

Câu 1. a) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của một số bằng tổng các lập phương của ba số kia.
b) Có thể tìm được năm số liên tiếp, sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của bốn số kia không?
Câu 2. Giải hệ phương trình


Với a,b,c đôi một khác nhau.
Câu 3. Cho biểu thức:
M = x2 + y2 + 2z2 + t2. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị nguyên không âm của x,y,z,t biết chúng thỏa mãn đồng thời :


Câu 4. Cho ba điểm A,B,C cố định và thẳng hàng ( theo thứ tự đó). Đường tròn (O) di động luôn luôn đi qua B và C. Kẻ từ A tiếp tuyến AE và AF đến (O) ( với E,F là hai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC và N là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng: Khi O di động, các điểm E,F luôn nằm trên đường tròn cố định.
Đường thẳng FI cắt (O) tại K. Chứng minh EK // AB
Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ONI nằm trên một đường thẳng cố định.