GIẢI ĐỀ TOÁN HSG BÌNH ĐỊNH 16-17

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017

Đề chính thức Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 18/3/2017

Bài 1 (6,0 điểm).
1. Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có:

b) Cho phương trình:
(m là tham số). Có hai nghiệm
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

Bài 3 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:


Bài 4 (7,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di
động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.
Chứng minh MB + MC = MA
Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi
S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức:
MH + MI + MK =

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho
. Chứng minh MA là tia phân giác của góc








Bài 1 (6,0 điểm).
1a) Rút gọn được P =
(với m
0, m
1)
1b)
P =
= 1 +

Ta có: P
N
là ước dương của 2
m
(TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
2) a + b + c
4 (a, b, c
Z)
Đặt a + b + c = 4k (k
Z)
a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b
Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc
=

= 64


=
(*)
Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1
a+ b + c chia 2 dư 1 (1)
Mà: a + b + c
4
a + b + c
2 (theo giả thiết) (2)
Do đó (1) và (2) mâu thuẫn
Điều giả sử là sai

Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2

2abc
4 (**)
Từ (*) và (**)
P
4
Bài 2 (5,0 điểm).
a)

(đúng)
b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt
và

Ta có:
và

M =
= ......=

=

Dấu “=” xảy ra khi m = 0
Vậy GTNN của M là
khi m = 0
Bài 3 (2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương
và yz, ta có:

+ yz


Tương tự, ta có:
và

Suy ra:
(1)
Ta có:
=
(2)
Ta có:

x + y + z (3)
Thật vậy: (*)

(BĐT đúng)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Từ (2) và (3) suy ra:

(4)
Từ (1) và (4) suy ra:

Bài 4 (7,0 điểm).
1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có:
BEM là tam giác đều
BE = BM = EM

BMA =
BEC
MA = EC
Do đó: MB + MC = MA

Cách 2:
Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB