GIẢI CHUYÊN TOÁN BÌNH ĐỊNH 18-19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 - 2019

Đề chính thức
Môn: TOÁN (Chuyên toán)
Ngày thi: 03/06/2018
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Bài 1: (2,0 điểm)
1. Cho biểu thức T =
, với a
b, a > 0, b > 0
a) Rút gọn biểu thức T
b) Chứng tỏ T > 1
2. Cho n là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng
chia hết cho 323.

Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải bất phương trình:

2) Giải hệ phương trình:


Bài 3: (1,0 điểm)
Cho phương trình
(m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ.

Bài 4: (4,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và
. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất.

2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) DA là phân giác của

b) F là trung điểm MN
c)
và


Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương a, b thỏa
. Chứng minh rằng:










LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1:
a) T =






b) T =
(BĐT Cô si cho hai số dương
)
Dấu “=” xảy ra khi a = b nhưng vì a
b nên dấu “=” không xảy ra được. Vậy T > 1

2. Cho n là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng
chia hết cho 323.
Khi n = 0 ta có

Khi n > 0: Ta có

Ta có:
và
(do n chẵn)


(1)
Ta có:
và
(do n chẵn)


(2)
Ta có: (17 ; 19) = 1 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
chia hết cho 323.

Bài 2:
1)
hoặc

Giải (1) được:

Giải (2):

Kết hợp cả (1) và (2) ta được nghiệm của bất phương trình là:

2)

Giải phương trình (2) ta được: x + y = –3 hoặc x + y = –2
Ta có:
x =–1, y = – 2 hoặc x = –2, y = –1. Ta có:
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x ; y) = (–1 ; –2), (–2 ; –1)

Bài 3:
Xét m = 1 thì phương trình (1)
2x + 20 = 0
x = –10 (thỏa mãn)
Xét m
1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ

là số chính phương


Đặt

Mà: 3m – 7 + k > 3m – 7 – k (vì k
). Lập bảng (m
Z)
3m – 7 + k
15
5
–1
–3

3m – 7 – k
1
3
–15
–5

k
7
1
7
1

m
5




1


Nhận
Loại
Loại
Loại

Vậy với m = 5 và m = 1 thì phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ

Bài 4:
1. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh AB, BC và AC
Ta có:



(vì AB
BC
CA)
Suy ra:

Nếu AB > BC thì dấu “=” xảy ra khi M
C
Nếu AB = BC > AC thì dấu “=” xảy ra khi M thuộc cạnh AC
Nếu AB = BC = CA thì dấu “=” xảy ra khi M thuộc mọi vị trí bên trong
ABC
2. a) Chứng minh DA là