Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Phương pháp chung:
*/ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn số và các đại lượng đã biết.
- Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng.
*/ Bước 2: Giải hệ phương trình:
Giải hệ phương trình vừa lập được.
*/ Bước 3: Trả lời:
Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: Toán về quan hệ giữ các số.
Phương pháp giải:
Biểu diễn số có hai chữ số:

a là chữ số hàng chục:

b là chữ số hàng đơn vị:

Biểu diễn số có ba chữ số:

a là chữ số hàng trăm:

b là chữ số hàng chục:

c là chữ số hàng đơn vị:

Bài tập1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD:
Gọi x là chữ số hàng chục (x
N, 0 < x
9).
Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y
N, x
9)
Số cần tìm có dạng
= 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1)
Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới:
=100x +10y + x = 101x +10y

Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
(101x + 10y) – (10x + y) = 682
91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

Giải hệ pt ta được
(thỏa ĐK)
số cần tìm là 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
HD:
Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y
N)
Theo đề bài ta có hệ pt:



Giải hệ ta được:
(thỏa ĐK)
hai số cần tìm là 34 và 25.
Bài tập 3: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD:
Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x
N, 0 < x
9)
Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12
x2 – 2 = 0
Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
HD:
Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị của số đã cho (x,y
N, 0 < x,y
9)
Theo đề bài ta có:




Vậy số cần tìm là 24.
DẠNG 2: Toán làm chung công việc
Phương pháp giải:
Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia: toàn bộ công việc, phần việc làm trong một đơn vị thời gian (năng suất), thời gian.
Năng suất làm việc: đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn: 1 ngày, 1 giờ,....)
Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được
công việc.
Xem toàn bộ công việc là 1.
Bài tập 1: Hai người cùng làm chung một công việc trong
giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì